Эллиптическое уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих стационарные процессы.

Определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции :

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

,

где .
Матрица называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна , то есть все собственные значения матрицы имеют одинаковый знак, то уравнение относят к эллиптическому типу[1].
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде:

,

где  — эллиптический оператор.

Эллиптические уравнения противопоставляются параболическим и гиперболическим, хотя данная классификация не является исчерпывающей.

Решение эллиптических уравнений[править | править вики-текст]

Поскольку эллиптические уравнения не зависят от времени, то для них задаются, только краевые условия. Для аналитического решения применяют метод разделения переменных Фурье, метод функции Грина и метод потенциалов.

Примеры эллиптических уравнений[править | править вики-текст]

В математической физике эллиптические уравнения возникают в задачах, сводящихся лишь к пространственным координатам: от времени либо ничего не зависит (стационарные процессы), либо оно каким-то образом исключается.

А также многие другие стационарные аналоги гиперболических и параболических уравнений.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Тихонов А.Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики (5-е изд.).. — Москва: Наука, 1977.