Девятигранник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Эннеаэдр»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Трёхмерный ассоциэдр[en] как пример девятигранника

Девятигранник (иногда используется название эннеаэдр) — это многогранник с девятью гранями. Существует 2606 видов выпуклых девятигранников, каждый из которых имеет свою уникальную конфигурацию вершин, рёбер и граней[1]. Ни один из этих многогранников не является правильным.

Примеры[править | править код]

Наиболее известными девятигранниками являются восьмиугольная пирамида и семиугольная призма[en]. Семиугольная призма является однородным многогранником с двумя правильными семиугольными и семью квадратными гранями. Восьмиугольная пирамида имеет восемь равнобедренных треугольных граней вокруг правильного восьмиугольного основания. Два других девятигранника также можно найти среди правильногранных многогранников — это удлинённая четырёхугольная пирамида и удлинённая треугольная бипирамида. Трёхмерный ассоциэдр[en], почти многогранник Джонсона с семью пятиугольными гранями и тремя четырёхугольными гранями, является девятигранником. Пять правильногранных многогранников имеют девятигранные двойственные тела, это трёхскатный купол, скрученно удлинённая четырёхугольная пирамида, самодвойственная удлинённая четырёхугольная пирамида, трижды наращённая треугольная призма (двойственная ассоциэдру) и трижды отсечённый икосаэдр. Ещё одним девятигранником является урезанный трапецоэдр[en] с квадратным основанием и 4 дельтоидными и 4 треугольными гранями.

Prism 7.png
семиугольная призма[en]
Elongated square pyramid.png
Удлинённая четырёхугольная пирамида
Elongated triangular dipyramid.png
Удлинённая треугольная бипирамида
Dual triangular cupola.png
Тело, двойственное трёхскатному куполу
Dual gyroelongated square pyramid.png
Тело, двойственное скрученно удлинённой четырёхугольной пирамиде
Dual tridiminished icosahedron.png
Тело, двойственное трижды отсечённому икосаэдру
Diminished square trapezohedron.png
Квадратный урезанный трапецоэдр[en]
Associahedron.gif
Усечённая треугольная бипирамида, почти многогранник Джонсона, и ассоциэдр[en].
Herschel enneahedron.png
Девятигранник Хершеля

Граф Хершеля представляет вершины и рёбра девятигранника Хершеля (см. выше), все грани которого четырёхугольны. Это самый простой многогранник без гамильтовова цикла, единственный девятигранник, в котором все грани имеют одинаковое число рёбер, и один из всего трёх двудольных девятигранников.

Два наименьших возможных изоспектральных полиэдральных графов являются графами девятигранников

Наименьшая пара изоспектральных полиэдральных графов представляется девятигранниками с восемью вершинами в каждом[2].

Заполняющие пространство девятигранники[править | править код]

Базилика Девы Марии (Маастрихт), верх башни которой образует заполняющий пространство многогранник.

Рассечение ромбододекаэдра пополам через длинные диагонали четырёх его граней даёт самодвойственный девятигранник, квадратный урезанный трапецоэдр[en] с одной большой квадратной гранью, четырьмя ромбическими гранями и четырьмя равнобедренными треугольными гранями. Подобно самому ромбическому додекаэдру это тело может быть использовано для замощения трёхмерного пространства[3]. Удлинённый вариант этого тела, остающегося способным замощать пространство, можно видеть на вершине задней стороны башен романской базилики Девы Марии 12-го века. Сами башни с их четырьмя пятиугольными сторонами (стенами), четырьмя гранями крыши и квадратным основанием образуют другой заполняющий пространство девятигранник.

Голдберг[4] нашёл по меньшей мере 40 топологически различных заполняющих пространство девятигранников[5].

Топологически различные девятигранники[править | править код]

Существует 2606 топологически различных выпуклых девятигранников, исключая зеркальные отражения. Они могут быть разбиты на подмножества девятигранников 8, 74, 296, 633, 768, 558, 219, 50 с числом вершин от 7 до 14 соответственно[6]. Таблицу этих чисел вместе с детальным описанием девятивершинных девятигранников первым опубликовал в 1870-х годах Томас Киркман[7].

Примечания[править | править код]

  1. Steven Dutch: How Many Polyhedra are There? Архивная копия от 7 июня 2010 на Wayback Machine
  2. Hosoya, Nagashima, Hyugaji, 1994, с. 428–431.
  3. Critchlow, 1970, с. 54.
  4. Goldberg, 1982.
  5. Goldberg, 1982, с. 297–306.
  6. Counting polyhedra (англ.). Numericana. Архивировано 20 августа 2020 года.
  7. Biggs, 1981, с. 97–120.

Литература[править | править код]

  • Haruo Hosoya, Umpei Nagashima, Sachiko Hyugaji. Topological twin graphs. Smallest pair of isospectral polyhedral graphs with eight vertices // Journal of Chemical Information and Modeling. — 1994. — Т. 34, вып. 2. — С. 428–431. — doi:10.1021/ci00018a033.
  • Keith Critchlow. Order in space: a design source book. — Viking Press, 1970. — С. 54.
  • Michael Goldberg. On the space-filling enneahedra // Geometriae Dedicata. — 1982. — Т. 12, вып. 3. — С. 297–306. — doi:10.1007/BF00147314.
  • Biggs N.L. T.P. Kirkman, mathematician // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1981. — Т. 13, вып. 2. — С. 97–120. — doi:10.1112/blms/13.2.97.

Ссылки[править | править код]