Эпиморфизм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Эпиморфи́зм в категорииморфизм , такой что из всякого равенства следует (другими словами, на можно сокращать справа).

Эпиморфизмы представляют собой категорный аналог понятия сюръективной функции, но это не одно и то же. Двойственным к понятию эпиморфизм является понятие мономорфизма; эпиморфзим, являющийся одновременно и мономорфизмом, называется биморфизмом.

Примеры[править | править код]

Каждый морфизм в конкретной категории, которому соответствует сюръективная функция, является эпиморфизмом. Во многих категориях обратное тоже верно. Например, это верно в категориях множеств, групп, абелевых групп, векторных пространств, правых модулей и топологических пространств. Однако, например, в категории колец вложение  — несюръективный эпиморфизм (и, кроме того, биморфизм, не являющийся изоморфизмом).

Свойства[править | править код]

Любой морфизм, имеющий обратный справа, является эпиморфизмом. Действительно, если существует морфизм , такой что , то легко проверить, что  — эпиморфизм, домножив на справа. Композиция двух эпиморфизмов — снова эпиморфизм. Если композиция двух морфизмов — эпиморфизм, то должен быть эпиморфизмом.

Как и многие концепции в теории категорий, эпиморфность сохраняется при эквивалентности категорий, является эпиморфизмом в одной категории тогда и только тогда, когда он является эпиморфизмом в другой.

Определение эпиморфизма можно переформулировать таким способом:  — эпиморфизм тогда и только тогда, когда индуцированное отображение:

инъективно для всех .

Литература[править | править код]

  • Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.