Эрмитова форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эрмитова форма — естественный аналог понятия симметричной билинейной формы для комплексных векторных пространств. Для эрмитовых форм верны аналоги многих свойств симметрических форм: приведение к каноническому виду, понятие положительной определенности и критерий Сильвестра[1].

Определение[править | править вики-текст]

Эрмитова форма — это полуторалинейная форма от двух векторов векторного пространства над полем со значениями в этом поле, обладающая свойством симметричности[1] :

Таким образом, полный набор условий, определяющих эрмитову форму, состоит в следующем:

Свойства[править | править вики-текст]

Из условия эрмитовой симметричности немедленно вытекает факт вещественности величины . При этом (вещественнозначная) функция на комплексном векторном пространстве V называется квадратично-эрмитовой. Имеет место и обратный факт, который может быть сформулирован как критерий того, что полуторалинейная форма является эрмитовой:

Теорема[1]. Полуторалинейная форма является эрмитовой тогда и только тогда, когда связанная с ней функция принимает только вещественные значения.


В случае выполнения дополнительного условия

эрмитова форма f(x,y) и квадратично-эрмитова функция называются положительно определёнными.

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.