Эрмитова форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эрмитова форма — естественный аналог понятия симметричной билинейной формы для комплексных векторных пространств. Для эрмитовых форм верны аналоги многих свойств симметрических форм: приведение к каноническому виду, понятие положительной определенности и критерий Сильвестра[1].

Определение[править | править вики-текст]

Эрмитова форма — это полуторалинейная форма f(x,y) от двух векторов векторного пространства V над полем \mathbb{C} со значениями в этом поле, обладающая свойством симметричности[1] :

f(x,y)= \overline{f(y,x)} \ \ \forall x,y \in V.

Таким образом, полный набор условий, определяющих эрмитову форму, состоит в следующем:

  • f(x_1+x_2,y)=f(x_1,y)+f(x_2,y) \ \ \forall x_i,y \in V,
  • f(\alpha x,y)=\alpha f(x,y) \ \ \forall x,y \in V, \ \alpha \in \mathbb{C}.
  • f(x,y_1+y_2)=f(x,y_1)+f(x,y_2) \ \ \forall x,y_i \in V,
  • f(x,\alpha y)=\overline \alpha f(x,y) \ \ \forall x,y \in V, \ \alpha \in \mathbb{C},
  • f(x,y)= \overline{f(y,x)} \ \ \forall x,y \in V.

Свойства[править | править вики-текст]

Из условия эрмитовой симметричности немедленно вытекает факт вещественности величины f(x,x). При этом (вещественнозначная) функция \phi(x)=f(x,x) на комплексном векторном пространстве V называется квадратично-эрмитовой. Имеет место и обратный факт, который может быть сформулирован как критерий того, что полуторалинейная форма является эрмитовой:

Теорема[1]. Полуторалинейная форма f(x,y) является эрмитовой тогда и только тогда, когда связанная с ней функция \phi(x) принимает только вещественные значения.


В случае выполнения дополнительного условия

f(x,x) > 0 \ \ \ \forall x \neq 0

эрмитова форма f(x,y) и квадратично-эрмитова функция \phi(x) называются положительно определёнными.

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. VI, § 6.3. — М.: Физматлит, 2009.