Эрмитово-сопряжённая матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Эрми́тово-сопряжённая ма́трица или сопряжённо-транспони́рованная ма́трица — это матрица * с комплексными элементами, полученная из исходной матрицы транспонированием и заменой каждого элемента комплексно-сопряжённым ему.

Эрмитово-сопряжённые матрицы во многом играют ту же роль при изучении комплексных векторных пространств, что и транспонированные матрицы в случае вещественных пространств.

Определение и обозначения[править | править вики-текст]

Если исходная матрица имеет размер , то эрмитово-сопряжённая к матрица будет иметь размер а её -й элемент будет равен:

где  обозначает комплексно-сопряжённое число к (сопряжённое число к есть , где и  — вещественные числа).

Эрмитово-сопряжённую матрицу обычно обозначают как или (H от англ. Hermitian — эрмитова), но иногда используются и другие обозначения:

  •  — в квантовой механике;
  • — но это обозначение может быть спутано с обозначением для псевдообратной матрицы;
  • .

Пример[править | править вики-текст]

Если

тогда

Связанные определения[править | править вики-текст]

Если матрица состоит из вещественных чисел, то эрмитово-сопряжённая к ней матрица — это просто транспонированная матрица:

если

Квадратная матрица называется:

Свойства[править | править вики-текст]

  • для любых двух матриц и одинаковых размеров.
  • для любого комплексного скаляра .
  • для любых матриц и , таких, что определено их произведение . Обратите внимание, что в правой части равенства порядок перемножения матриц меняется на противоположный.
  • для любой матрицы .
  • Собственные значения, определитель и след меняются на сопряжённые у эрмитово-сопряжённой матрицы, по сравнению с исходной.
  • обратима тогда и только тогда, когда обратима матрица . При этом:
  • для любой матрицы размера и любых векторов и . Обозначение обозначает стандартное скалярное произведение векторов в комплексном векторном пространстве.
  • Матрицы и являются эрмитовыми и положительно-полуопределёнными для любой матрицы (необязательно квадратной). Если квадратная и невырожденная, то эти две матрицы будут положительно-определёнными.

См. также[править | править вики-текст]

  • Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Ссылки[править | править вики-текст]