Эта-функция Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Эта-функция Дирихле в аналитической теории чисел — функция, определённая следующим рядом Дирихле, сходящимся для любого комплексного числа s, у которого действительная часть больше 0:

Этот ряд Дирихле — знакочередующийся, он соответствует ряду Дирихле дзета-функции Римана ζ(s), поэтому эта-функция Дирихле также известна как альтернативная дзета-функция и иногда обозначается как ζ*(s). Выполняются следующие равенства:

( — гамма-функция, это равенство представляет эта-функцию как преобразование Меллина).

И эта-функция Дирихле, и дзета-функция Римана являются частными случаями полилогарифма:

Харди вывел для эта-функции функциональное уравнение

которое позволяет продолжить её на всю комплексную плоскость, не ограничиваясь случаем Re s > 0.

Нули[править | править код]

Нули эта-функции включают в себя все нули дзета-функции — отрицательные целые числа, точки s такие, что где n — целое число, не равное 0.

Значения в некоторых точках[править | править код]

Общая форма для чётных неотрицательных целых чисел:

где  — числа Бернулли.

Литература[править | править код]

  • Lindelöf, Ernst. Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (фр.). — Gauthier-Villars, 1905. — С. 103.
  • Widder, David Vernon. The Laplace Transform (неопр.). — Princeton University Press, 1946. — С. 230.
  • Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlin, 1909, p. 160. (Second edition by Chelsea, New York, 1953, p. 160, 933
  • Sondow, Jonathan (2002), Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula, arΧiv:math.CO/0211148. 
  • Sondow, Jonathan, Zeros of the Alternating Zeta Function on the Line R(s)=1, arΧiv:math/0209393.