Эффект Шубникова — де Гааза

Эффект Шубникова — де Гааза (или де Хааза) назван в честь советского физика Л. В. Шубникова и нидерландского физика В. де Хааза, открывших его в 1930 году. Наблюдаемый эффект заключался в осцилляциях магнетосопротивления плёнок висмута при низких температурах. Позже эффект Шубникова — де Гааза наблюдали в многих других металлах и полупроводниках. Эффект Шубникова — де Гааза используется для определения тензора эффективной массы и формы поверхности Ферми в металлах и полупроводниках.

Термины продольный и поперечный эффекты Шубникова — де Гааза вводят, чтобы различать ориентацию магнитного поля относительно направления течения электрического тока. Особый интерес заслуживает поперечный эффект Шубникова — де Гааза в двумерном электронном газе (ДЭГ).

Причина возникновения

Причина возникновения осцилляций проводимости и сопротивления кроется в особенностях энергетического спектра ДЭГ, а именно здесь речь идёт об уровнях Ландау с энергиями

$E_{n}^{LL}=\hbar \omega _{c}\left(n-{\frac {1}{2}}\right),$$E_{n}^{{LL}}=\hbar \omega _{c}\left(n-{\frac {1}{2}}\right),$

где $\hbar$$\hbar$ — постоянная Планка, $\omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}c}}$$\omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}c}}$ — циклотронная частота осциллятора Ландау, $m^{*}$$m^{*}$ — эффективная масса электрона, $n$$n$ — номер уровня Ландау, $c$$c$ — скорость света,.

Плотность состояний ДЭГ $DOS(\varepsilon )$$DOS(\varepsilon )$ в квантующем магнитном поле для двумерного случая представляет собой набор дельтообразных особенностей

$DOS(\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\delta \left(\varepsilon -\hbar \omega _{c}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\right)}.$$DOS(\varepsilon )=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\delta \left(\varepsilon -\hbar \omega _{c}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\right)}.$

Пусть уровень Ферми $E_{F}$$E_F$ зафиксирован, например, уровнем Ферми в контактах. Тогда при возрастании магнитного поля B расстояние между уровнями Ландау начнёт увеличиваться, и они будут пересекать при условии $E_{F}=E_{n}^{LL}$$E_{F}=E_{n}^{{LL}}$ уровень Ферми, и проводимость ДЭГ возрастет. Когда уровень Ферми находится между двумя уровнями Ландау, где нет электронов, дающих вклад в проводимость, наблюдается её минимум. Этот процесс повторяется при увеличении магнитного поля. Осцилляции магнетосопротивления периодичны по обратному магнитному полю и из их периода $\Delta \left({\frac {1}{B}}\right)$$\Delta \left({\frac {1}{B}}\right)$ определяют концентрацию двумерного электронного газа (ДЭГ)

$n_{2DEG}={\frac {2e}{h}}{\frac {1}{\Delta (1/B)}},$$n_{{2DEG}}={\frac {2e}{h}}{\frac {1}{\Delta (1/B)}},$

где $e$$e$ — заряд электрона, $h$$h$ — постоянная Планка.

Осцилляции магнетосопротивления возникают и в другой постановке эксперимента, если зафиксировать магнитное поле и каким-либо образом менять концентрацию ДЭГ, например, в полевом транзисторе изменяя потенциал затвора.

Трёхмерный случай

Форма осцилляций слабо зависит от вида рассеивающего потенциала и следующее выражение, учитывающее уширение за счёт столкновений и температуры, а также спиновое расщепление, даёт хорошее приближение для описания поперечного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа

$\sigma _{xx}=\sigma _{0}\left(1+\sum _{r=1}^{\infty }b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)$$\sigma _{{xx}}=\sigma _{0}\left(1+\sum _{{r=1}}^{{\infty }}b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)$

$b_{r}=(-1)^{r}{\frac {5}{2}}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}$$b_{r}=(-1)^{r}{\frac {5}{2}}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}$

где $\eta =E_{F}/\hbar \omega _{c}$$\eta =E_{F}/\hbar \omega _{c}$, $T_{D}$$T_D$ — температура Дингля, определённая по столкновительному уширению $\Gamma$$\Gamma$ уровня как $\pi k_{B}T_{D}=\Gamma$$\pi k_{B}T_{D}=\Gamma$, $k_{B}$$k_B$ — постоянная Больцмана, $T_{e}$$T_{e}$ — температура электронного газа, $g$$g$ — множитель Ландэ для электрона ($g$$g$-фактор), $m_{0}$$m_{{0}}$ — масса свободного электрона.

Аналогичное выражение для описания продольного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа запишется в виде

$\sigma _{xx}=\sigma _{0L}\left(1-\sum _{r=1}^{\infty }b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)$$\sigma _{{xx}}=\sigma _{{0L}}\left(1-\sum _{{r=1}}^{{\infty }}b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)$

$b_{r}=(-1)^{r}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}$$b_{r}=(-1)^{r}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}$

где $\sigma _{0L}={\frac {2e^{2}\hbar \rho v_{s}^{2}}{\pi \Xi ^{2}k_{B}Tm^{*}}}{\frac {E_{F}}{3}}$$\sigma _{{0L}}={\frac {2e^{2}\hbar \rho v_{s}^{2}}{\pi \Xi ^{2}k_{B}Tm^{{*}}}}{\frac {E_{F}}{3}}$ ($\Xi$$\Xi$ — деформационный потенциал).

См. также

• Осцилляции Шубникова — де Гааза (графен)

Литература

• B. K. Ridley Quantum Processes in semiconductors. — Oxford, 1993. ISBN 0-19-851752-1