Ядерный оператор
Ядерный оператор — класс компактных операторов в банаховом пространстве
Ядерный оператор в Банаховом пространстве
[править | править код]Пусть - банаховы пространства. Непрерывный линейный оператор называется ядерным, если найдется такое абсолютно суммируемое семейство линейных непрерывных операторов из в с одномерным образом, что . Множество всех ядерных операторов из в будем обозначать через .
Простейшие свойства
[править | править код]- Множество образует подпространство в пространстве всех непрерывных линейных операторов из в . Точная нижняя грань сумм по всевозможным представлениям оператора в виде , где операторы имеют ранг , является нормой на пространстве ядерных операторов.
- Пространство банахово. Если сепарабельны, то тоже сепарабельно.
- Все конечномерные операторы ядерны, и их множество плотно в . В свою очередь, ядерные операторы компактны.
- Ядерные операторы образуют операторный идеал. В частности, если и - непрерывные операторы в банаховых пространствах и хотя бы один из них ядерный, то их композиция также ядерна.
- Сопряженный оператор к ядерному также ядерный.
Ядерный оператор в Гильбертовом пространстве
[править | править код]Пусть - компактный оператор между гильбертовыми пространствами.
. Для можно найти сингулярное разложение, т.е. ортонормированные системы , и последовательность неотрицательных чисел так, что .
является ядерным тогда и только тогда, когда для его -чисел выполнено неравенство:
В Гильбертовом пространстве ядерная норма приобретает вид: .
След ядерного оператора
[править | править код]Если - гильбертово пространство, то для можно ввести понятие, естественно обобщающее понятие матричного следа оператора в конечномерном пространстве:
,
где - ортонормированный базис в . От выбора базиса число не зависит.
Свойства следа
[править | править код]- - линейный непрерывный функционал в банаховом пространстве , его норма равна .
- , равенство достигается при
- .
- , если - линейные непрерывные операторы и .
- Всякий линейный непрерывный функционал в представим единственным образом в виде: , где - линейные непрерывные операторы.
Примеры
[править | править код]- Предположим и являются операторами Гильберта — Шмидта между Гильбертовыми пространствами. Тогда оператор ядерный оператор.
- Оператор обратный к оператору Штурма-Лиувилля на отрезке - ядерный.
Литература
[править | править код]- А. Пич. Ядерные локально выпуклые пространства. — МИР, 1967. — 266 с.
- А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — МЦНМО, 2014. — 552 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-065-8.
- М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7.