Ядро Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ядро Дирихле — -периодическая функция, задаваемая следующей формулой:

Функция названа в честь французско-немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это позволяет аналитически оценивать соотношения между исходной функцией и её приближениями в пространстве .

Соотношение с рядом Фурье[править | править вики-текст]

Пусть  — интегрируема на и -периодическая, тогда

Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.

Доказательство[править | править вики-текст]

Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.

Применяя формулу разности косинусов к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:

Рассмотрим сумму косинусов:

Умножим каждое слагаемое на и преобразуем по формуле

Применяя это преобразование к формуле (4), получим:

Сделаем замену переменного

Свойства ядра Дирихле[править | править вики-текст]

  •  — функция -периодическая и четная.

См. также[править | править вики-текст]