Якобиан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определитель матрицы Якоби:

для векторной функции имеющей в некоторой точке все частные производные первого порядка (определитель Якоби или якобиан системы функций ).

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель.[источник не указан 3624 дня] По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю[1].

  • Часто используются следующие обозначения якобиана:
,или

Геометрическая интерпретация[править | править код]

Если функции определяют преобразование координат , то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов[2] «элементарных параллелепипедов», натянутых на и на при равенстве произведений .

Применение[править | править код]

  • Якобиан часто применяется при анализе неявных функций
  • Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
  • Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат преобразуется как
    (формула замены переменных в n-мерном интеграле).

Примеры[править | править код]

Пример 1. Переход элементарной площади от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):

Матрица Якоби имеет следующий вид

А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:

Пример 2. Переход элементарного объёма от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :

Матрица Якоби имеет следующий вид

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

Примечания[править | править код]

  1. wolfram.com Jacobian
  2. Здесь имеется в виду ориентированный объём. Отношение простых объёмов есть модуль определителя Якоби.

См. также[править | править код]

Применение в физике