Радиан

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу.

Радиан — основная единица измерения плоских углов в современной математике и физике.

Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается величина угла в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану[1].

Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла[2].

Таким образом, величина полного угла равна 2π радиан.

Иными словами угол, выраженный в радианах определяется в количестве периметров (длиной дуги) окружности единичного радиуса, подобно тому, как длина измеряется количеством линейных единичных эталонов (например метров), укладывающихся в данный отрезок. Радиан — это путь, пройденный точкой единичной окружности при повороте на заданный угол в градусах.[3]

Наглядное представление радиана: длина дуги окружности единичного радиуса

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), радиан — величина безразмерная.

Радиан в Международной системе единиц (СИ)[править | править вики-текст]

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом[4]. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная[5] безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad[6].

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду[7].

Кратные и дольные единицы[править | править вики-текст]

Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Кратные Дольные
величина название обозначение величина название обозначение
101 рад декарадиан дарад darad 10−1 рад децирадиан драд drad
102 рад гекторадиан град hrad 10−2 рад сантирадиан срад crad
103 рад килорадиан крад krad 10−3 рад миллирадиан мрад mrad
106 рад мегарадиан Мрад Mrad 10−6 рад микрорадиан мкрад µrad
109 рад гигарадиан Град Grad 10−9 рад нанорадиан нрад nrad
1012 рад терарадиан Трад Trad 10−12 рад пикорадиан прад prad
1015 рад петарадиан Прад Prad 10−15 рад фемторадиан фрад frad
1018 рад эксарадиан Эрад Erad 10−18 рад атторадиан арад arad
1021 рад зеттарадиан Зрад Zrad 10−21 рад зепторадиан зрад zrad
1024 рад иоттарадиан Ирад Yrad 10−24 рад иокторадиан ирад yrad
     применять не рекомендуется      не применяются или редко применяются на практике

Связь радиана с другими единицами[править | править вики-текст]

Угол в 1 радиан.

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

Очевидно, развернутый угол равен 180^\circ, или \frac{\pi \cdot r}{r}= \pi радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

a[°] = α[рад] × (360° / ) или α[рад] × (180° / π),
α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°),

где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах.


1 рад (или p^\circ) = \frac{360^\circ}{2\pi} \approx 57{,}29578^\circ ~ (\approx 57{,}30^\circ, \approx 57^\circ17'45''), точнее[8] = 57{,}295779513^\circ, = 57^\circ17'44{,}806''

p' (или 1 рад в минутах) = \frac{360^\circ \cdot 60'}{2\pi} \approx 3438', точнее = 3437{,}747'

p'' (или 1 рад в секундах) = \frac{360^\circ \times 60' \times 60''}{2\pi} \approx 206265'', точнее = 206264{,}8''.

Номограмма для перевода радианы/градусы.


В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
p^{\backprime \backprime} (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = \frac{400 \cdot 100 \cdot 100}{2\pi} = 636620.
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.


Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа (rad) делаем именованное (p^\circ, p', p'') и поэтому должны множить на p^\circ ~ (или p', p'');
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на p^\circ ~ (или p', p''), либо же умножать на перевёрнутую дробь \frac{1}{p^\circ} ~ (\frac{1}{p'}, \frac{1}{p''}).


Пример 1. Перевести в радианы 5^\circ43'{,}77 ~ (\approx 5^\circ43'46'').

Решение

\boldsymbol{\alpha} [rad] \eqcirc 5^\circ = \frac{5^\circ}{\displaystyle{p^\circ}} ~rad = 0{,}0872_6[9]

43' = \frac{43'}{p'} ~rad = 0{,}0125_{08}[9]

46'' = \frac{46''}{p''} ~rad = 0{,}0002_{23}[9]

\sum \approx 0{,}0999_9 ~rad[9] = 0{,}1 ~rad

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на p^\circ : (как правило, этот способ более точен)

46'' = \frac{46''}{3600''} = 0{,}\boldsymbol{012778}^\circ

43'{,}\boldsymbol{77} = \frac{43{,}77'}{60'} = 0{,}\boldsymbol{7295}^\circ

\sum = 5{,}\boldsymbol{7295}^\circ

5{,}7295^\circ = \frac{5{,}7295^\circ}{p^\circ} ~rad = \frac{5{,}7295^\circ}{\displaystyle{57{,}295^\circ}} = 0{,}1 ~rad

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан

a [^\circ] \eqcirc 1 \cdot \frac{360^\circ}{2\pi} = 1 \cdot 57{,}29578^\circ = 57{,}\boldsymbol{29578}^\circ

0{,}\boldsymbol{29578}^\circ \cdot 60' = 17{,}\boldsymbol{7468}'

0{,}\boldsymbol{7468}' \cdot 60'' = 44{,}807'' \approx 45''

Итого \approx 57^\circ 17'45''.
В двух последних случаях остаток от частного суммируется и вычитается соответственно.

Радианная мера в математическом анализе[править | править вики-текст]

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается. Так, например, в тригонометрии обозначение  \pi [без указания rad] подразумевает именно его числовое значение (3{,}14159265359), но зачастую в прикладной математике и быту мы по привычке предполагаем  \pi \cdot Rad , точнее  \pi \times \frac{360^\circ}{2\pi} , то есть 180^\circ и т. п. (см. Тригонометрические функции#Значения тригонометрических функций для некоторых углов).

При малых углах — менее 5^\circ43'{,}77, т.е [грубо] меньше 6^\circ ( тождество точнее выдерживается при менее 0^\circ34'{,}38, т.е [грубо] меньше 1^\circ ) — синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях:

\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\,\alpha \approx \alpha; \quad\alpha \ll 0{,}1 ~ rad ~ (5^\circ43'{,}77, \approx 5^\circ43'46'')[10]

и

\sin\alpha = \operatorname{tg}\,\alpha = \alpha; \quad\alpha \ll 0{,}01  ~ rad ~ (0^\circ34'{,}38 \approx 0^\circ34'23'').[11]

История[править | править вики-текст]

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной[12]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Ал-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы[13].

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсоном Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мюир (англ.) в 1869 году из Сент-Эндрюсского университета колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Муир, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать «радиан»[14][15][16].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Выгодский, 1965
  2. Гельфанд, Львовский, Тоом, 2002
  3. Наглядное объяснение радиана[1]
  4. Резолюция 12 XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) (англ.). Международное бюро мер и весов. Проверено 19 декабря 2014.
  5. Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице.
  6. ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин.
  7. Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one (англ.). SI Brochure: The International System of Units (SI). Международное бюро мер и весов (2006). Проверено 19 декабря 2014.
  8. Точность зависит от взятого количества знаков после запятой числа  \pi .
  9. 1 2 3 4 Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
  10. Точность нарушается в четвертом знаке после запятой.
  11. Точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой.
  12. Biography of Roger Cotes. The MacTutor History of Mathematics (February 2005).
  13. Luckey Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi. — Berlin: Akademie Verlag, 1953. — P. 40.
  14. Cajori Florian. History of Mathematical Notations. — 1929. — Vol. 2. — P. 147–148. — ISBN 0-486-67766-4.
  15. (1910) «The Term "Radian" in Trigonometry». Nature 83 (2110): 156. DOI:10.1038/083156a0. Bibcode1910Natur..83..156M. (1910) «The Term "Radian" in Trigonometry». Nature 83 (2112): 217. DOI:10.1038/083217c0. Bibcode1910Natur..83..217T. (1910) «The Term "Radian" in Trigonometry». Nature 83 (2120): 459–460. DOI:10.1038/083459d0. Bibcode1910Natur..83..459M.
  16. Miller, Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (Nov 23, 2009). Проверено 30 сентября 2011.

Литература[править | править вики-текст]

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340-343. — 424 с.
  • Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.

Ссылки[править | править вики-текст]