Ряд Тейлора

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора[1] — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Определение[править | править вики-текст]

1. Многочленом Тейлора функции вещественной переменной , дифференцируемой раз в точке , называется конечная сумма

,

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при верно .

При записи суммы использованы обозначение и соглашение о произведении по пустому множеству: , .

2. Рядом Тейлора в точке функции вещественной переменной , бесконечно дифференцируемой в окрестности точки , называется формальный степенной ряд

с общим членом , зависящим от параметра .

Другими словами, рядом Тейлора функции в точке называется ряд по положительным степеням двучлена :

.[2]

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции в окрестности точки не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки .

3. Рядом Тейлора в точке функции комплексной переменной , удовлетворяющей в некоторой окрестности точки условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

.

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса , что в ряд сходится к функции .

4. В случае ряд

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция[править | править вики-текст]

1. Функция вещественной переменной называется аналитической в точке , если существуют такой радиус и такие коэффициенты , , что представима в виде сходящегося на интервале степенного ряда: , т.е. .

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд на любом компактном подмножестве области сходимости допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в -ю производную функции подставить , то получится .

Таким образом, для аналитической в точке функции для некоторого всюду в является верным представление .

Следствие. Функция вещественной переменной является аналитической в точке тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром на некотором открытом интервале, содержащем точку .

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке функции вещественного переменного её ряд Тейлора сходиться к всюду на каком-нибудь интервале , т.е. представима ли этим рядом ?

Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности .

Примеры. Функции вещественной переменной , , являются бесконечно дифференцируемыми в точке , причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром тождественно равны нулю. Однако, для любого в окрестности точки найдутся точки, в которых функции, отличны от . Таким образом, эти функции не являются в точке аналитическими.

Область сходимости ряда Тейлора[править | править вики-текст]

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости - круг (с центром в точке ) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке ) - для случая вещественной переменной.

1. Например, функция может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако, если функция определена для всех действительных чисел, кроме точки , то ряд сходится только при условии .

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

.

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию . Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен . Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси для любого параметра .


4. От параметра - точки разложения ряда Тейлора зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного ) в ряд Тейлора функцию : .

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента , при любых значениях (кроме ) имеет один и тот же вид.

Действительно,

.

Область сходимости ряда может быть задана неравенством . И теперь эта область зависит от . Например, для ряд сходится при . Для ряд сходится при .

Формула Тейлора[править | править вики-текст]

Предположим, что функция имеет все производные до -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку . Найдем многочлен степени не выше , значение которого в точке равняется значению функции в этой точке, а значения его производных до -го порядка включительно в точке равняются значениям соответствующих производных от функции в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид , т.е. это -я частичная сумма ряда Тейлора функции . Разница между функцией и многочленом называется остаточным членом и обозначается . Формула называется формулой Тейлора[3]. Легко догадаться, что остаточный член дифференцируем раз в рассматриваемой окрестности точки . Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция имеет производную на отрезке с концами и , то для произвольного положительного числа найдётся точка , лежащая между и , такая, что


Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена[править | править вики-текст]

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В интегральной форме:

Ослабим предположения:

  • Пусть функция имеет производную в некоторой окрестности точки и -ю производную в самой точке , тогда:
В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

Критерий аналитичности функции[править | править вики-текст]

Основной источник: [4]

Предположим, что некоторую функцию нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке . Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (т.е. буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке , и ее ряд Тейлора с параметром может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка , потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку . Пусть ряд Тейлора с параметром такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех из окрестности по формуле Тейлора можно записать , где - ряд Тейлора.

Очевидно, что функция является аналитической в точке тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки существует непрерывная область такая, что для всех остаточный член ее разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом : .

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию . Ее ряд Тейлора сходится на всей оси для любых параметров . Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках .

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид , где - некоторое число, заключенное между и (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно, .

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых и .

Ряды Маклорена некоторых функций[править | править вики-текст]

  • Экспонента:
  • Натуральный логарифм: для всех
  • Биномиальное разложение: для всех и всех комплексных где
    • Квадратный корень: для всех
    • для всех
    • Конечный геометрический ряд: для всех
  • Тригонометрические функции:
    • Синус:
    • Косинус:
    • Тангенс: для всех где  — числа Бернулли
    • Секанс: для всех где  — числа Эйлера
    • Арксинус: для всех [5]
    • Арккосинус: для всех
    • Арктангенс: для всех
  • Гиперболические функции:
    • для всех
    • для всех
    • для всех

Формула Тейлора для функции двух переменных[править | править вики-текст]

Пусть функция имеет непрерывные производные до -го порядка включительно в некоторой окрестности точки . Введём дифференциальный оператор

.

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням для в окрестности точки будет иметь вид

где  — остаточный член в форме Лагранжа:

Следует иметь в виду, что операторы и в действуют только на функцию , но не на и/или .

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе .

В случае функции одной переменной .

Формула Тейлора многих переменных[править | править вики-текст]

Для получения формулы Тейлора функции переменных , которая в некоторой окрестности точки имеет непрерывные производные до -го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням в окрестности точки имеет вид

где  — остаточный член порядка .

Для функции переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки , ряд Тейлора имеет вид

,

где

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных[править | править вики-текст]

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных , и в окрестности точки до второго порядка малости. Оператор будет иметь вид

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

Учитывая, что

получим

Например, при ,

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.
  2. Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371
  3. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. — Мифрил, 1996. — С. Том 1, глава 4, параграф 6.
  4. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — тринадцатое. — МОСКВА "НАУКА", 1985. — С. Том 2, глава 16, параграф 16.
  5. При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой где

Литература[править | править вики-текст]