Формулы Виета

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Формулировка[править | править исходный текст]

Если c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n} — корни многочлена

x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n,\,\!

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты a_1, \ldots, a_n выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

\begin{matrix}
a_1 &=& -(c_1 + c_2 + \ldots + c_n) \\ 
a_2 &=& c_1 c_2 + c_1 c_3 + \ldots + c_1 c_n + c_2 c_3 + \ldots + c_{n-1} c_n \\ 
a_3 &=& -(c_1 c_2 c_3 + c_1 c_2 c_4 + \ldots + c_{n-2} c_{n-1} c_{n}) \\ 
 & &\ldots \\ 
a_{n-1} &=& (-1)^{n-1} (c_1 c_2 \ldots c_{n-1} + c_1 c_2 \ldots c_{n-2} c_n + \ldots + c_2 c_3...c_n) \\
a_n &=& (-1)^n c_1 c_2 \ldots c_n \end{matrix}.

Иначе говоря (-1)^ka_k равно сумме всех возможных произведений из k корней.

Если старший коэффициент многочлена a_0 \ne 1, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a_0 (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Доказательство[править | править исходный текст]

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что  a_0 = 1

x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n = (x - c_1)(x - c_2) \cdots (x - c_n)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (теорема единственности), получаем формулы Виета.

Примеры[править | править исходный текст]

Квадратное уравнение[править | править исходный текст]

В частном случае, если a=1 (приведенная форма x^2+px+q=0), то

\begin{cases}
  ~x_1+x_2=-p \\
  ~x_1 x_2=q\end{cases}
 .

Кубическое уравнение[править | править исходный текст]

Если x_1, x_2, x_3 — корни кубического уравнения  p(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 , то

\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\dfrac{b}{a}\\x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \dfrac{c}{a} \\ x_1 x_2 x_3 = -\dfrac{d}{a}\end{cases}.

См. также[править | править исходный текст]