*-алгебра

*-алгебра (алгебра с инволюцией, алгебра с операцией сопряжения) — ассоциативная алгебра с инволюцией, которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению.

*-кольцо

*-кольцо — кольцо с унарной операцией *, которое является

• антиавтоморфизмом, то есть

$\ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$

$\ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}$

$\ 1^{*}=1$

• и инволюцией, то есть

$\ (x^{*})^{*}=x.$

Такое кольцо ещё называется кольцо с инволюцией.

*-алгебра

*-алгебра A — это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R, с согласованием операции * в $R\subset A.$

Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение).

Тогда * сопряженно-линейное, то есть

$(\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda ^{*}x^{*}+\mu ^{*}y^{*}\quad \lambda ,\mu \in R;\;\;x,y\in A$.

*-гомоморфизм $\ f:A\to B$ — это гомоморфизм алгебр, который отображает инволюцию в A на инволюцию в B, то есть:

$f(x^{*})=f(x)^{*}\quad \forall x\in A.$

---

• Элементы для которых $\ x^{*}=x$ называются само-сопряженными, симметричными или эрмитовыми.
• Элементы для которых $\ x^{*}=-x$ называются косо-сопряженными, анти-симметричными или анти-эрмитовыми.
• Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде $\phi (x,y)=x^{*}\cdot y$.

C*-алгебра

Основная статья: C*-алгебра

C*-алгебра — банахова *-алгебра над полем комплексных чисел, для которой выполняется C*-свойство:

$\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|,$

$\|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.$

Оба условия эквивалентны.

Также они эквивалентны В*-свойству

$\|xx^{*}\|=\|x\|^{2}.$

Примеры

• Самым известным примером являются комплексные числа $\mathbb {C}$ с операцией сопряжения.
• Квадратные матрицы с комплексными элементами с операцией эрмитового сопряжения.
• Эрмитовое сопряжения линейного оператора в гильбертовом пространстве.

Свойства

Многие свойства сопряжения для комплексных чисел хранятся в *-алгебрах:

• Если элемент 2 в кольце обратим, тогда ${\frac {1}{2}}(1-*)$ и ${\frac {1}{2}}(1+*)$ является ортогональными идемпотентами. Как векторное пространство, алгебра разлагается в прямую сумму подпространств симметричных и анти-симметричных (эрмитовых и анти-эрмитовых) элементов.
• Эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Йордана.
• Анти-эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Ли.

Обозначения

Операция инволюции записывается обычно в виде символа звёздочки (астериска), указываемого после операнда, находящегося на уровне средней линии или слегка поднятого над нею:

x ↦ x*

или

x ↦ x^∗ (ΤΕΧ: x^*),

но не «x∗» так как символ звёздочки для бинарных операций находится ниже средней линии. Иногда используется также надстрочная черта x, как в комплексном сопряжении, или x^† (поднятый типографский крестик).

См. также

• Операторные алгебры
• Процедура Кэли — Диксона иногда строит *-алгебру

Библиография

• H. G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Claren- don Press, Oxford, 2000, с. 142—150.