0 (число)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
  • «Существуют две формы: ноль и нуль. В терминологическом значении (особенно в косвенных падежах) обычно используется вторая, например: равняется нулю, температура держится на нуле»[1].
  • «…производное прилагательное обычно образуется от формы нуль, например: нулевой меридиан, нулевая отметка»[1].

0 (ноль, нуль от лат. nullus — никакой) — число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее, то есть дает результат, равный этому последнему; произведение любого числа на нуль дает нуль[2].

Большой толковый словарь Кузнецова (2009)[3] приводит обе формы: ноль, нуль — как равнозначные. Однако из приведенных там примеров видно, что некоторое различие есть: форма ноль используется преимущественно в именительном падеже, имеются также иные указания на это правило (см. врезку).

Ноль в математике[править | править вики-текст]

Основные свойства нуля[править | править вики-текст]

0/a = 0 при a \neq 0.

Деление на ноль[править | править вики-текст]

В самом деле, если обозначить \frac{a}{0} = b, то по определению деления формально должно быть b \cdot 0 = a, в то время как выражение b \cdot 0, при любом b, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного в ни в каком поле.
  • Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости, его результат — бесконечно удалённая точка.

Принадлежность к натуральным числам[править | править вики-текст]

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам[4], другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам (так как натуральные числа там понимаются как числа, используемые при счёте, а 0 при счёте не используется), хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело).

Значения отдельных функций[править | править вики-текст]

  • Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: a^0 = 1.
    • Выражение 0^0 (ноль в нулевой степени) принято считать лишённым смысла[5][6][7], то есть неопределённым[Коммент. 1]. Связано это с тем, что для функции двух переменных x^y точка \{0,0\} является неустранимой особой точкой: например, вдоль положительного направления оси X, где y=0, эта функция равна единице, а вдоль положительного направления оси Y функция равна нулю. Поэтому любое определение значения 0^0 нарушает непрерывность в этой точке.
  • Факториал нуля равен единице: 0! = 1.

Обобщения (ноль в общей алгебре)[править | править вики-текст]

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера n\times n является нулевым элементом кольца квадратных матриц M_n(R). Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен, p(x)\equiv 0.

Ноль в математическом анализе[править | править вики-текст]

  • При вычислении предела отношения (a/b), где a \rightarrow 0 и b \rightarrow 0, возникает ситуация, когда непосредственная подстановка даёт выражение (0/0), значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: \left ( \frac{0}{0} \right ), (0^0), (\infty^0), (0\cdot\infty).
  • Также возможна вполне определенная ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:
  • Правый предел: \lim_{x \to +0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=+\infty _ или _ \left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} +0]{} +\infty.
  • Левый предел: \lim_{x \to -0} \frac{1}{x}=\left( \frac{1}{0} \right)=-\infty _ или _ \left ( \frac{1}{x} \right ) \xrightarrow[x \xrightarrow{} -0]{} -\infty.

Ноль в геометрии[править | править вики-текст]

  • Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
  • Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат.
  • Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства вновь именуется началом координат, если все её координаты нулевые.
  • Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
  • На окружности расположения 0° и 360° совпадают.

История использования нуля[править | править вики-текст]

Вавилонские математики использовали особый клинописный значок для шестидесятеричного нуля, начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше.

Своеобразные коды нуля использовали ещё до нашей эры древние майя и их соседи в Центральной Америке (древние майя обозначали ноль стилизованным изображением ракушки).

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. ονδεν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление нуля, однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый код нуля обнаружен в индийской записи от 876 г., он имеет вид привычного нам кружочка.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

Ноль в других областях науки и техники[править | править вики-текст]

Ноль постоянно используется как начало отсчёта. Примеры весьма многочисленны.

Ноль в языке и культуре[править | править вики-текст]

  • «Мы почитаем всех нулями, а единицами - себя» — цитата из поэмы Пушкина «Евгений Онегин»[8] (глава 2, строфа 14), употребляется иронически, когда говорят о чьем-либо завышенном самомнении и пренебрежительном отношении к окружающим [9].
  • На нуле — отсутствие чего-либо. Например, «финансы на нуле» (разговорное употребление)[10].
  • Ноль в переносном значении означает ничтожного, незначительного человека, например: «Он абсолютный ноль»[10].
  • Выражение ноль без палочки, когда идёт речь о человеке, означает, что он не имеет никакого влияния, значения (разговорное и шутливое употребление)[10], а также некомпетентного, глупого человека[11].
  • Ноль внимания — отсутствие внимания[10].
  • Выражение ноль-ноль, употребляемое после указания часа суток, означает: ровно в таком-то часу, без минут[10].
  • С нуля начинать — начинать на пустом месте (разговорное употребление)[10].

См. также[править | править вики-текст]

Комментарии[править | править вики-текст]

  1. Невозможность возвести ноль в нулевую степень отражена как в школьной программе, так и в энциклопедиях, см. сноски. Однако альтернативные мнения, конечно же, существуют, в чём легко убедиться, введя запрос
    ноль в нулевой степени
    в любой из поисковых систем.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Д. Э. Розенталь. Справочник по правописанию, произношению, литературному редактированию. Глава X. Правописание имен числительных. М.: ЧеРо, 1999.
  2. НУЛЬ // Большой Энциклопедический словарь. 2000.
  3. Большой толковый словарь русского языка. Гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб.: Норинт, 1998.
  4. The historical roots of elementary mathematics. — Courier Dover Publications, 1976. — P. 254–255. — ISBN 0-486-13968-9., Extract of pages 254–255
  5. Что такое степень числа // Школьная математика, интернет-ресурс.
  6. Почему число в степени 0 равно 1? // Науколандия, интернет-ресурс.
  7. Степенная функция // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978.
  8. Крылатые фразы // Сводная энциклопедия афоризмов. Академик. 2011.
  9. Мы почитаем всех нулями, / А единицами — себя // Энциклопедический словарь крылатых слов и выражений. — М.: «Локид-Пресс». Вадим Серов. 2003.
  10. 1 2 3 4 5 6 ноль // Толковый словарь иностранных слов Л. П. Крысина.- М: Русский язык, 1998.
  11. нуль // Словарь русского арго. — ГРАМОТА.РУ. В. С. Елистратов. 2002.

Ссылки[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «0»
Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «ноль»
Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «нуль»