Стодвадцатиячейник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «120-ячейник»)
Перейти к: навигация, поиск

Стодвадцатияче́йник[1] — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гекатоникосахор (от др.-греч. ἑκατόν — «сто», εἴκοσι — «двадцать» и χώρος — «место, пространство»), гипердодека́эдр (поскольку является четырёхмерным аналогом додекаэдра), додекаплекс (то есть «комплекс додекаэдров»), полидодека́эдр. Двойствен шестисотячейнику.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов[2]. Символ Шлефли стодвадцатиячейника — {5,3,3}.

Все 9 его звёздчатых форм — правильные звёздчатые многоячейники. Из 10 правильных звёздчатых многоячейников лишь один не является звёздчатой формой стодвадцатиячейника.

Описание[править | править вики-текст]

Ограничен 120 трёхмерными ячейками — одинаковыми додекаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности 144^\circ.

Его 720 двумерных граней — одинаковые правильные пятиугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 1200 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 600 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки.

В координатах[править | править вики-текст]

Стодвадцатиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:

  • координаты 24 его вершин были всевозможными перестановками чисел (0;0;\pm2;\pm2);
  • координаты 64 вершин — всевозможными перестановками (\pm1;\pm1;\pm1;\pm\sqrt5);
  • координаты 64 вершин — всевозможными перестановками (\pm\Phi^{-2};\pm\Phi;\pm\Phi;\pm\Phi), где \Phi = \frac{1+\sqrt5}{2} — отношение золотого сечения;
  • координаты 64 вершин — всевозможными перестановками (\pm\Phi^{-1};\pm\Phi^{-1};\pm\Phi^{-1};\pm\Phi^2);
  • координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками (0;\pm\Phi^{-1};\pm\Phi;\pm\sqrt5);
  • координаты остальных 192 вершин — всевозможными чётными перестановками (\pm\Phi^{-1};\pm1;\pm\Phi;\pm2).

Начало координат (0;0;0;0) будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Проекция вращающегося стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство[править | править вики-текст]

Вид снаружи
Вид изнутри


Ортогональные проекции на плоскость[править | править вики-текст]

120-cell graph H4.svg
120-cell t0 p20.svg
120-cell t0 F4.svg
120-cell t0 H3.svg
120-cell t0 A2.svg
120-cell t0 A3.svg


Метрические характеристики[править | править вики-текст]

Если стодвадцатиячейник имеет ребро длины a, то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

V_4 = \frac{15}{4}\left(105+47\sqrt5\right)a^4 \approx 787,8569810a^4,
S_3 = 30\left(15+7\sqrt5\right)a^3 \approx 919,5742753a^3.

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

R = \frac{1}{2}\left(\sqrt{10}+3\sqrt2\right)a \approx 3,7024592a,

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

\rho_1 = \frac{1}{2}\left(\sqrt{15}+2\sqrt3\right)a \approx 3,6685425a,

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

\rho_2 = \sqrt{\frac{1}{10}\left(65+29\sqrt5\right)}\;a \approx 3,6034146a,

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

r = \frac{1}{4}\left(7+3\sqrt5\right)a \approx 3,4270510a.

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]