Натуральный ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «1 + 2 + 3 + 4 + ⋯»)
Перейти к: навигация, поиск
Первые четыре частичные суммы натурального ряда. Изображённая парабола является сглаживающей асимптотой данных сумм и пересекает ось ординат на отметке −1/12.

Натуральный ряд — числовой ряд, члены которого являются последовательными натуральными числами: 1 + 2 + 3 + 4 + …; при этом n-ая сумма ряда является треугольным числом:

\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2},

которое неограниченно растёт при стремлении n к бесконечности. Из-за того, что последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела, ряд расходится.

Несмотря на расходимость в традиционном смысле, некоторые обобщённые операции над натуральным рядом позволяют получить выводы, находящие применение в компле́ксном анализе, квантовой теории поля и теории струн.

Сумма в обобщённом смысле[править | править вики-текст]

Специальные методы суммирования, использующиеся в некоторых разделах математики, позволяют присвоить конечные значения расходящимся числовым рядам. В частности, один из таких способов предоставляет метод, основанный на регуляризации аналитического продолжения дзета-функции Римана и суммировании по методу Рамануджана, позволяют сопоставить данному ряду некое конечное значение[1]:

1+2+3+4+\cdots=-\frac{1}{12},

в обобщённом смысле суммы.

Частичные суммы[править | править вики-текст]

Первые шесть треугольных чисел

Частичными суммами натурального ряда являются 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. Таким образом, n-ая частичная сумма выражается формулой:

\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}.

Это выражение было известно ещё Пифагору в VI веке до нашей эры[2]. Числа такого вида называются треугольными, так как они могут быть представлены в виде треугольника.

Бесконечная последовательность треугольных чисел стремится к +∞ и, следовательно, бесконечная сумма натурального ряда также стремится к +∞. Такой результат является следствием невыполнения необходимого условия сходимости числового ряда.

Суммируемость[править | править вики-текст]

В сравнении с другими классическими расходящимися рядами, натуральному ряду сложнее приписать имеющее смысл некоторое конечное числовое значение. Существует множество методов суммирования, некоторые из которых являются более устойчивыми и мощными. Так, например, суммирование по Чезаро является широкоизвестным методом, который суммирует умеренно расходящийся Ряд Гранди 1 − 1 + 1 − 1 + … и приписывает ему конечное значение ½. Суммирование методом Абеля представляет собой более мощный метод, который, кроме ряда Гранди, позволяет также суммировать более сложный знакочередующийся натуральный ряд и присвоить ему значение ¼.

В отличие от упомянутых выше рядов, как суммирование по Чезаро, так и метод Абеля неприменимы к натуральному ряду. Эти методы работают только со сходящимися и гармоническими рядами, и не могут быть использованы для ряда, частичные суммы которого стремятся к +∞[3]. Большинство элементарных определений суммы расходящегося ряда являются линейными и устойчивыми, а любой линейный и устойчивый метод не может присвоить натуральному ряду конечное значение. Следовательно, требуются более развитые методы, такие как регуляризация дзета-функцией или суммирование Рамануджана.

Эвристические предпосылки[править | править вики-текст]

Отрывок из первой заметки Рамануджана, описывающей конечное значение ряда.

В главе 8 первого сборника своих трудов Рамануджан показал, что «1 + 2 + 3 + 4 + … = −112», используя два способа[4][5][6]. Ниже излагается более простой метод, состоящий из двух этапов.

Первое ключевое наблюдение состоит в том, что ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … похож на знакочередующийся натуральный ряд 1 − 2 + 3 − 4 + …. Несмотря на то, что этот ряд также является расходящимся, с ним намного проще работать. Существует несколько классических способов присвоить конечное значение этому ряду, известных ещё с XVIII века. [7]

Для того, чтобы привести ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … к виду 1 − 2 + 3 − 4 + …, мы можем вычесть 4 из второго члена, 8 из четвёртого члена, 12 из шестого и т. д. Общая величина, которую нужно вычесть, выражается рядом 4 + 8 + 12 + 16 + …, который получается умножением исходного ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … на 4. Данные выражения можно записать в алгебраической форме. Что бы из себя ни представляла «сумма», введём для неё обозначение c = 1 + 2 + 3 + 4 + …, умножим полученное уравнение на 4 и вычтем второе из первого:


\begin{alignat}{7}
 c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots , \\
4c&{}={}&  4&&  {}+8&&{} +12+\cdots ,\\
-3c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots .\\
\end{alignat}

Второе ключевое наблюдение заключается в том, что ряд 1 − 2 + 3 − 4 + … является разложением в степенной ряд функции 1/(1 + x)2 при x, равном 1. Соответственно, Рамануджан заключает:

-3c=1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{(1+1)^2}=\frac14.

Поделив обе части на −3, получаем c = −1/12.

Строго говоря, существует неоднозначность при работе с бесконечными рядами в случае использования методов, предназначенных для конечных сумм (наподобие тех методов, что были использованы выше), в особенности если эти бесконечные ряды расходятся. Неоднозначность заключается в том, что если вставить ноль в любое место в расходящемся ряде, существует вероятность получить противоречивый результат. Например, действие 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + … противоречит свойствам сложения.

Одним из способов обойти данную неопределённость и тем самым ограничить позиции, куда можно вставить ноль, является присвоение каждому члену ряда значения некоторой функции.[8] Для ряда 1 + 2 + 3 + 4 + …, каждый член n представляет собой натуральное число, которое может быть представлено в виде функции n−s, где s — некоторая комплексная переменная. Используя данное представление, можно гарантировать, что все члены ряда последовательны. Таким образом, присвоив s значение −1, можно выразить рассматриваемый ряд в строгом виде. Реализация данного способа носит название регуляризации дзета-функцией.

Регуляризация дзета-функцией[править | править вики-текст]

График функции ζ(s). Для s > 1, ряд сходится и ζ(s) > 1. Аналитическое продолжение в окрестности s = 1 приводит к отрицательным значениям, в частности ζ(−1) = −1/12

В данном методе, ряд \sum_{n=1}^\infty n заменяется рядом \sum_{n=1}^\infty n^{-s}. Последний ряд является частным случаем ряда Дирихле. Если реальная часть s больше 1, ряд Дирихле сходится и его сумма представляет собой дзета-функцию Римана ζ(s). С другой стороны, если реальная часть s меньше или равна 1, ряд Дирихле расходится. В частности, ряд 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·, который получается подстановкой s = −1 не является сходящимся. Преимущества перехода к дзета-функции Римана заключается в том, что, используя метод аналитического продолжения, она может быть определена для s меньше или равных 1. Следовательно, мы можем получить значение регуляризованной дзета-функции ζ(−1) = −1/12.

Существует несколько способов доказать, что ζ(−1) = −1/12.. Один из методов[9] использует связь между дзета-функцией Римана и эта-функцей Дирихле η(s). Эта-функция выражается знакопеременным рядом Дирихле, согласуясь тем самым с ранее представленными эвристическими предпосылками. Тогда как оба ряда Дирихле сходятся, следующие тождества верны:


\begin{alignat}{8}
\zeta(s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots& \\
2\cdot2^{-s}\zeta(s)&{}={}&  2\cdot2^{-s}&&  {}+2\cdot4^{-s}&&{} +2\cdot6^{-s}+\cdots& \\
\left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots&=\eta(s) \\
\end{alignat}

Тождество (1-2^{1-s})\zeta(s)=\eta(s) остаётся справедливым если мы продолжим обе функции аналитически в область значений s, где вышезаписанные ряды расходятся. Подставляя s = −1, получим −3ζ(−1)=η(−1). Отметим, что вычисление η(−1) является более простой задачей, так как значение эта-функции выражается значением суммы Абеля соответствующего ряда[10] и представляет собой односторонний предел:

-3\zeta(-1)=\eta(-1)=\lim_{x\nearrow 1}\left(1-2x+3x^2-4x^3+\cdots\right)=\lim_{x\nearrow 1}\frac{1}{(1+x)^2}=\frac14

Поделив обе части выражения на −3, получаем ζ(−1) = −1/12.

Суммирование методом Рамануджана[править | править вики-текст]

Суммирование ряда 1 + 2 + 3 + 4 + · · · методом Рамануджана также позволяет получить значение −1/12. В своём втором письме к Х. Г. Харди, датированном 27 Февраля 1913, Рамануджан пишет:

«Уважаемый Сэр, я с большим удовольствием прочёл ваше письмо от 8го февраля 1913. Я ожидал, что вы ответите мне в том же стиле, что и профессор математики из Лондона, который посоветовал мне внимательно изучить „Бесконечные ряды“ Томаса Бромвича и не попадать в ловушку, которую таят расходящиеся ряды. … Я ответил ему, что, согласно моей теории, сумма бесконечного числа членов ряда: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12. Узнав это, вы сию же минуту укажете в направлении психиатрической лечебницы. Уверяю, вы не сможете проследить нить рассуждений в моём доказательстве этого факта, если я попытаюсь изложить их в единственном письме. …»[11]

Метод суммирования Рамануджана заключается в изолировании постоянного члена в формуле Эйлера — Маклорена для частичных сумм ряда. Для некоторой функции f, классическая сумма Рамануджана для ряда \sum_{k=1}^\infty f(k) определена как

c=-\frac{1}{2}f(0)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(0),

где f(2k−1) представляет собой (2k−1)-ую производную функции f и B2k является 2k-ым числом Бернулли: B2 = 1/6, B4 = −1/30 и т. д. Принимая f(x) = x, первая производная f равна 1, а все остальные члены стремятся к нулю, поэтому:[12]

c=-\frac16\cdot\frac{1}{2!} = -\frac{1}{12}.

Для избежания противоречий, современная теория метода суммирования Рамануджана требует, чтобы функция f являлась «регулярной» в том смысле, что её производные высших порядков убывают достаточно быстро для того, чтобы оставшиеся члены в формуле Эйлера — Маклорена стремились к 0. Стоит отметить, что Рамануджан неявно подразумевал это свойство.[12] Требование регулярности помогает избежать использования метода суммирования Рамануджана для рядов типа 0 + 2 + 0 + 4 + · · · потому, что не существует регулярной функции, которая выражалась бы значениями такого ряда. Такой ряд должен интерпретироваться с использованием регуляризацией дзета-функцией.

Несостоятельность устойчивых линейных методов суммирования[править | править вики-текст]

Линейный и устойчивый метод суммирования не в состоянии присвоить конечное значение ряду 1 + 2 + 3 + …. (Устойчивый означает, что добавление члена в начало ряда увеличивает сумму ряда на величину данного члена.) Данное утверждение может быть продемонстрировано следующим образом. Если

1 + 2 + 3 + …=x

тогда, добавляя 0 к обеим частям, получаем

0 + 1 + 2 + … = 0 + x = x исходя из свойства устойчивости

Вычитая нижний ряд из верхнего, получаем

1 + 1 + 1 + … = x — x = 0 исходя из свойства линейности

Добавляя 0 к обеим частям повторно, получаем

0 + 1 + 1 + 1 +… = 0

и вычитая два последних ряда приходим к

1 + 0 + 0 + … =0,

что противоречит свойству устойчивости.

Методы, использованные выше, для суммирования 1 + 2 + 3 + … являются либо только устойчивыми, либо только линейными. Например, существует два разных метода, называемых регуляризацией дзета-функцией. Первый является устойчивым, но нелинейным и определяет сумму a+b+c+… множества чисел как значение аналитического продолжения выражения 1/as +1/bs +1/cs + при s=-1. Второй метод линейный, но неустойчивый и определяет сумму последовательности чисел как значение аналитического продолжения выражения a/1s +b/2s +c/3s при s=0. Оба метода присваивают ряду 1+2+3+… значение суммы ζ(-1)=-1/12.

Применение в физике[править | править вики-текст]

Значение -\frac{1}{12} встречается в теории бозонных струн при попытке рассчитать возможные энергетические уровни струны, а именно низший энергетический уровень.

Регуляризация ряда 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ также встречается при расчёте эффекта Казимира для скалярного поля в одномерном пространстве.[13] Похожие вычисления возникают для трёхмерного пространства, однако в этом случае вместо дзета-функции Римана используются реальные аналитические ряды Эйзенштейна.[14]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Lepowsky, J. (1999), Naihuan Jing and Kailash C. Misra, ed., «Vertex operator algebras and the zeta function», vol. 248, Contemporary Mathematics, сс. 327–340 
  2. Pengelley, David J. (2002), Otto Bekken et al, ed., «The bridge between the continuous and the discrete via original sources», National Center for Mathematics Education, University of Gothenburg, Sweden, с. 3 
  3. Hardy p.10
  4. «Ramanujan's Notebooks», <http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/NoteBooks/NoteBook1/chapterVIII/page3.htm>. Проверено 26 января 2014. 
  5. Abdi, Wazir Hasan (1992), «Toils and triumphs of Srinivasa Ramanujan, the man and the mathematician», National, с. 41 
  6. Berndt, Bruce C. (1985), «Ramanujan’s Notebooks: Part 1», Springer-Verlag, сс. 135–136 
  7. Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler. Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. The Euler Archive (2006). Проверено 22 марта 2007. Originally published as Euler, Leonhard (1768). «Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques». Memoires de l'academie des sciences de Berlin 17: 83–106.
  8. Присвоение номеров функциям идентифицируется как один из двух широких классов методов суммирования, включая суммирование Абеля и суммирование Бореля: Konrad Knopp. Theory and Application of Infinite Series. — Dover, 1990. — P. 475–476. — ISBN 0-486-66165-2.
  9. Stopple, Jeffrey (2003), «A Primer of Analytic Number Theory: From Pythagoras to Riemann», с. 202, ISBN 0-521-81309-3 
  10. Knopp Konrad. Theory and Application of Infinite Series. — Dover, 1990. — P. 490–492. — ISBN 0-486-66165-2.
  11. Berndt et al. p.53.
  12. 1 2 Berndt, Bruce C. (1985), «Ramanujan’s Notebooks: Part 1», Springer-Verlag, сс. 13,134 
  13. Zee pp.65-67
  14. Zeidler, Eberhard (2007), «Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics: A Bridge between Mathematicians and Physicists», Springer, сс. 305–306, ISBN 9783540347644, <http://books.google.com/books?id=XYtnGl9enNgC&pg=PA305> .

Список литературы[править | править вики-текст]

  • Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin. Ramanujan: letters and commentary. — American Mathematical Society, 1995. — ISBN 0-8218-0287-9.
  • Hardy G.H. Divergent Series. — Clarendon Press, 1949. — ISBN LCC QA295 .H29 1967.
  • Zee A. Quantum field theory in a nutshell. — Princeton UP, 2003. — ISBN 0-691-01019-6.

Ссылки[править | править вики-текст]