Вещественные матрицы 2 × 2

Ассоциативная алгебра 2×2 вещественных матриц обозначается $M(2,\mathbb {R} )$. Две матрицы p и q в $M(2,\mathbb {R} )$ имеют сумму $p+q$, определяемую сложением матриц. Произведение матриц p q образуется скалярным произведением строк и столбец сомножителей через операцию умножения матриц. Для

$q={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},$

пусть

$\quad q^{*}={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.$

Тогда $qq^{*}=q^{*}q=(ad-bc)E$, где $E$ — 2×2 единичная матрица. Вещественное число $ad-bc$ называется определителем матрицы q. Если $ad-bc\neq 0$, q является невырожденной матрицей, и в этом случае

$q^{-1}=q^{*}\,/\,(ad-bc).$

Набор всех таких обратимых матриц формирует полную линейную группу $GL(2,\mathbb {R} )$. В терминах абстрактной алгебры $M(2,\mathbb {R} )$ с операциями сложения и умножения образуют кольцо, а $GL(2,\mathbb {R} )$ является его группой единиц. $M(2,\mathbb {R} )$ является четырёхмерным векторным пространством, так что эта алгебра считается ассоциативной. Она изоморфна (как кольцо) кокватернионам, но с другой структурой.

2×2 вещественные матрицы находятся в один-к-одному соответствии с линейными отображениями двумерной прямоугольной системы координат в себя по правилу

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}.$

Структура

Внутри $M(2,\mathbb {R} )$ умножение на вещественные числа единичной матрицы E можно считать вещественной прямой. Эта вещественная прямая является местом, где все коммутативные подкольца сходятся вместе:

Пусть $P_{m}=\{xE+ym:x,y\in \mathbb {R} \}$ где $m^{2}\in \{-E,0,E\}$. Тогда $P_{m}$ является коммутативным подкольцом и $M(2,\mathbb {R} )=\cup P_{m}$, где объединение осуществляется по всем m, таким, что $m^{2}\in \{-E,0,E\}$.

Для выявления таких матриц m сначала возведём в квадрат матрицу общего вида:

${\begin{pmatrix}aa+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+dd\end{pmatrix}}$.

Если a + d = 0, эта матрица становится диагональной. Тогда предполагаем d = −a при поиске матриц m, образующих коммутативные подкольца. Если $mm=-E$, то получаем $bc=-1-aa$, уравнение гиперболического параболоида в пространстве параметров $(a,b,c)$. Такая матрица m выступает в качестве мнимой единицы. В этом случае подкольцо $P_{m}$ изоморфно полю (обычных) комплексных чисел.

Если $mm=+E$, матрица m является инволютивной матрицей. Тогда уравнение $bc=+1-aa$ также даёт гиперболический параболоид. Если матрица является идемпотентной, она должна находиться в P_m и в этом случае подкольцо P_m изоморфно кольцу двойных чисел.

В случае нильпотентной матрицы mm = 0 получается, когда только одна из величин b или c не равна нулю, а коммутативное подкольцо P_m является тогда копией плоскости дуальных чисел.

Если $M(2,\mathbb {R} )$ преобразуется заменой базиса, эта структура изменяется в структуру сплит-кватернионов, где множества квадратных корней из E и -E принимают одинаковые формы в виде гиперболоидов.

Сохраняющее площади отображение

Основная статья: Сохраняющее площади отображение

Первое отображение отображает один дифференциальный вектор в другой:

${\begin{pmatrix}du\\dv\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p&r\\q&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p\,dx+r\,dy\\q\,dx+s\,dy\end{pmatrix}}.$

Площади измеряются с плотностью $dx\wedge dy$, дифференциальной 2-формой, которая использует внешнюю алгебру. Преобразованная плотность равна

${\begin{aligned}du\wedge dv&{}=0+ps\ dx\wedge dy+qr\ dy\wedge dx+0\\&{}=(ps-qr)\ dx\wedge dy=(\det g)\ dx\wedge dy.\end{aligned}}$

Тогда сохраняющие площади отображения представляют собой группу $SL(2,\mathbb {R} )$$=\{g\in M(2,\mathbb {R} ):det(g)=1\}$, специальную линейную группу. Если задана вышеупомянутая структура, любой такой g лежит в коммутативном подкольце P_m, представляющем вид комплексной плоскости, соответствующей квадрату m. Поскольку $gg^{*}=E$, возможны три варианта:

• $mm=-E$ и g лежит на окружности евклидовых поворотов
• $mm=E$ и g лежит на гиперболе отображений сжатия
• $mm=0$ и g лежит на прямой отображений сдвига

Обсуждая планарные аффинные отображения, Рафаэль Артци сделал аналогичное деление случаев планарного линейного отображения в своей книге Линейная геометрия (1965).

Функции на 2 × 2 вещественных матрицах

Коммутативные подкольца алгебры $M(2,\mathbb {R} )$ определяют теорию функций. В частности, три типа подплоскостей имеют собственные алгебраические структуры, которые определяют значение алгебраических выражений. Соглашения для функции «квадратный корень» и «логарифмической функции» помогают проиллюстрировать ограничения, вытекающие из свойств каждого типа подплоскостей P_m, описанных выше. Концепция единичной компоненты группы единиц подкольца P_m приводит к полярному разложению элементов группы единиц:

• Если $mm=-E$, то $z=\rho \exp({\theta }m)$.
• Если $mm=0$, то $z=\rho \exp(sm)$ или $z=-\rho \exp(sm)$.
• Если $mm=E$, то $z=\rho \exp(am)$, или $z=-\rho \exp(am)$ или $z=m\rho \exp(am)$ или $z=-m\rho \exp(am)$.

В первом случае $\exp(\theta m)=\cos(\theta )+m\sin(\theta )$. В случае дуальных чисел $\exp(sm)=1+sm$. Наконец, в случае расщепляемых комплексных чисел имеется четыре компоненты в группе единиц. Единичная компонента параметризуются переменной ρ и $\exp(am)=\mathrm {ch} \,a+m\mathrm {sh} \,a$.

Теперь ${\sqrt {\rho \exp(am)}}={\sqrt {\rho }}\exp(am/2)$ независимо от подплоскости P_m, но аргументы функции должны быть взяты из единичной компоненты её группы единиц. Половина плоскости теряется в случае структуры дуальных чисел. Три четверти плоскости нужно исключить в случае структуры двойных чисел.

Аналогично, если $\rho \exp(am)$ является элементом единичной компоненты группы единиц плоскости, ассоциированной с 2×2 матрицей m, то значением логарифмической функции будет $\log \rho +am$. На область определения логарифмической функции накладываются те же ограничения, что и на функцию «квадратный корень», описанную выше, — половина или три четверти P_m должны быть исключены в случаях mm = 0 или $mm=E$.

Дальнейшее описание теории для структуры $\mathbb {C}$ можно найти в статье «Комплексные функции», а для структуры расщепляемых комплексных чисел — в статье Моторная переменная.

2 × 2 вещественные матрицы как комплексные числа

Любую 2×2 вещественную матрицу можно интерпретировать как одно из трёх типов (обобщённых) комплексных чисел — стандартные комплексные числе, дуальные числа и расщепляемые комплексные числа. Выше, алгебра 2×2 матриц структурирована как объединение комплексных плоскостей, разделяющих одну и ту же вещественную ось. Эти плоскости представляются как коммутативные подкольца P_m. Мы можем определить, какой комплексной плоскости принадлежит данная 2×2 матрица, и классифицировать, какого рода комплексные числа представляет данная плоскость.

Рассмотрим 2×2 матрицу

$z={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$

Мы ищем комплексную плоскость P_m, содержащую матрицу z.

Как было отмечено выше, квадрат матрицы z диагонален, если a + d = 0. Матрица z должна быть выражена в виде суммы единичной матрицы E с коэффициентом и матрицы на гиперплоскости a + d = 0. Проектируя z на все эти подпространства $\mathbb {R} ^{4}$, получим

$z=xI+n,\quad x={\frac {a+d}{2}},\quad n=z-xI.$

Более того,

$n^{2}=pI$, где $p={\frac {(a-d)^{2}}{4}}+bc$.

Тогда z принадлежит одному из трёх типов комплексных чисел:

• Если p < 0, то это обычное комплексное число:

Пусть $q=1/{\sqrt {-p}},\quad m=qn$. Тогда $m^{2}=-I,\quad z=xI+m{\sqrt {-p}}$.

• Если p = 0, то это дуальное число:

$z=xI+n$.

• Если p > 0, то z является двойным числом:

Пусть $q=1/{\sqrt {p}},\quad m=qn$. Тогда $m^{2}=+I,\quad z=xI+m{\sqrt {p}}$.

Аналогично, 2×2 может быть выражена в полярных координатах с учётом, что имеются две связные компоненты группы единиц на плоскости дуальных чисел и четыре компоненты на плоскости двойных чисел.