Определитель

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Det»)
Перейти к: навигация, поиск

Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры.
Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов.
То есть, определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы, — определитель равен нулю.
Определитель играет ключевую роль в решении в общем виде систем линейных уравнений, на его основе вводятся базовые понятия.
В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Определения[править | править вики-текст]

Через перестановки[править | править вики-текст]

Для матрицы n \times n определителем называется:

\Delta=\sum_{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n} (-1)^{N(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)} \cdot a_{\alpha_11} \cdots a_{\alpha_nn},

где \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n — перестановка чисел от 1 до n, N(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n. Таким образом, в определитель войдёт n! слагаемых, которые также называют «членами определителя».

Аксиоматическое построение (определение на основе свойств)[править | править вики-текст]

Понятие определителя может быть введено на основе его свойств. А именно, определителем вещественной матрицы называется функция \det: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}, обладающая следующими тремя свойствами:

  1. \det(A) — кососимметрическая функция строк (столбцов) матрицы A.
  2. \det(A) — полилинейная функция строк (столбцов) матрицы A.
  3. \det(E) = 1, где E — единичная n×n-матрица.

Значение определителя матрицы[править | править вики-текст]

Для матрицы первого порядка значение детерминанта равно единственному элементу этой матрицы:

\Delta=\begin{vmatrix} a_{11}\end{vmatrix} = a_{11}

Матрицы 2 x 2[править | править вики-текст]

Схема расчета определителя матрицы 2×2.
Площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами - сторонами параллелограмма.

Для матрицы 2 \times 2 определитель вычисляется как:

\Delta=\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc

Эта матрица A может быть рассмотрена как матрица линейного отображения, преобразующего единичный квадрат в параллелограмм с вершинами (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), и (c, d).

Абсолютное значение определителя |ad-bc| равно площади этого параллелограмма, и таким образом, отражает коэффициент, на который масштабируются площади при преобразовании A.

Значение определителя со знаком (ориентированная площадь параллелограмма) помимо коэффициента масштабирования также показывает, выполняет ли преобразование A отражение.

Матрицы 3 x 3[править | править вики-текст]

Определитель матрицы 3 \times 3 можно вычислить по формуле:

\Delta = 
\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =
a_{11}\begin{vmatrix}    a_{22} & a_{23} \\  a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}    a_{21} & a_{23} \\  a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}    a_{21} & a_{22} \\  a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} =
= a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}  - a_{12}a_{21}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}

Для более удобного вычисления определителя третьего порядка можно воспользоваться правилом Саррюса или правилом треугольника.

Определитель матрицы, составленной из векторов  \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} равен их смешанному произведению с обратным знаком. Аналогично двумерному случаю, определитель такой матрицы равен ориентированному объему параллелепипеда, натянутого на  \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}.

Матрицы N x N[править | править вики-текст]

В общем случае, для матриц более высоких порядков (выше 2-го порядка) n \times n определитель можно вычислить, применив следующую рекурсивную формулу:

\Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j}\bar M_j^1, где \bar M_j^1дополнительный минор к элементу a_{1j}. Эта формула называется разложением по строке.

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

\Delta=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\bar M_1^i

Также справедливо и аналогичное разложение по любой строке (столбцу):

\Delta=\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij}\bar M_j^i

Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):

\Delta=\sum_{1\leqslant j_1<\ldots<j_k\leqslant n} (-1)^{i_1+...+i_k+j_1+...+j_k} M_{j_1...j_k}^{i_1...i_k} \bar M_{j_1...j_k}^{i_1...i_k}

Альтернативные методы вычисления[править | править вики-текст]

\det(M) = \frac{\det(M_1^1)\det(M_k^k) - \det(M_1^k) \det(M_k^1)}{\det(M_{1,k}^{1,k})}, где M_1^1,M_k^k,M_1^k,M_k^1,M_{1,k}^{1,k} матрицы, получающиеся из исходной вычёркиванием соответствующих строк и столбцов.

Свойства определителей[править | править вики-текст]

  • Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам):  \Delta (\hat A_1, \ldots, \alpha\hat A_i+\beta\hat {A'}_i, \ldots, \hat A_n) = \alpha\Delta (\hat A_1, \ldots, \hat A_i, \ldots, \hat A_n)+ \beta\Delta (\hat A_1, \ldots, \hat {A'}_i, \ldots, \hat A_n) , где  \hat A_1 и т. д. — строчки матрицы,  \Delta (\hat A_1, \ldots, \hat A_i, \ldots, \hat A_n)  — определитель такой матрицы.
  • При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
  • Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
  • Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
  • Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (−1).
  • Общий множитель элементов какой-либо строки определителя можно вынести за знак определителя.
  • Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
  • Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
  • Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
  • Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей (см. также формулу Бине-Коши).
  • С использованием индексной нотации определитель матрицы 3×3 может быть определён с помощью символа Леви-Чивита из соотношения:
    
 \begin{vmatrix} 
 a_1 & a_2 & a_3 \\
 b_1 & b_2 & b_3 \\
 c_1 & c_2 & c_3 \\
 \end{vmatrix}
=\sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_{i} b_{j} c_{k}.
  • Определитель квадратной матрицы 3×3 равен ориентированному объему параллелепипеда, три ребра которого заданы векторами-столбцами матрицы.
  • Определитель матрицы равен произведению её собственных значений.
  • Если квадратная матрица выражает линейное преобразование, то её определитель не меняется при замене базиса линейного пространства.

Алгоритмическая реализация[править | править вики-текст]

  • Прямые методы вычисления определителя могут быть основаны непосредственно на его определении, как суммы по перестановкам, или на разложении Лапласа по определителям меньшего порядка. Однако такие методы очень неэффективны, так как требуют О(n!) операций для вычисления определителя n-го порядка.
  • Один из более быстрых методов заключается в простой модификации метода Гаусса. Следуя методу Гаусса, произвольную матрицу A можно привести к ступенчатому виду (Верхнетреугольная матрица), используя лишь две следующие операции над матрицей — перестановку двух строк и добавление к одной из строк матрицы другой строки, умноженной на произвольное число. Из свойств определителя следует, что вторая операция не изменяет определителя матрицы, а первая лишь меняет его знак на противоположный. Определитель матрицы, приведённой к ступенчатому виду, равен произведению элементов на её диагонали, так как она является треугольной, поэтому определитель исходной матрицы равен:
    \! \det A = (-1)^s \cdot \det A_{\mbox{ref}},
где s — число перестановок строк, выполненных алгоритмом, а A_{\mbox{ref}} — ступенчатая форма матрицы A, полученная в результате работы алгоритма. Сложность этого метода, как и метода Гаусса, составляет O(n^3).
  • Определитель можно вычислить, зная LU-разложение матрицы. Если A = LU, где L и U — треугольные матрицы, то \det A = (\det L)(\det U). Определитель треугольной матрицы равен просто произведению её диагональных элементов.
  • Если доступен алгоритм, выполняющий умножение двух матриц порядка n за время M(n), где M(n) \geqslant n^a, для некоторого a > 2, то определитель матрицы порядка n может быть вычислен за время O(M(n)).[1] В частности это означает, что, используя для умножения матриц алгоритм Копперсмита — Винограда, определитель можно вычислить за время O(n^{2.376}).

Специальные виды определителей[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. J. R. Bunch and J.E. Hopcroft. Triangular factorization and inversion by fast matrix multiplication, Mathematics of Computation, 28 (1974) 231—236.

Литература[править | править вики-текст]