Экспонента

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «EXP»)
Перейти к: навигация, поиск
График экспоненты (синим). Касательная (красным) в нуле у функции наклонена на .
Рядом для примера показаны (точками) и (пунктиром)

Экспоне́нта — показательная функция , где  — число Эйлера.

Определение[править | править вики-текст]

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

или через предел:

Здесь  — любое комплексное число.

Свойства[править | править вики-текст]

  • , а в частности, экспонента — единственное решение дифференциального уравнения с начальными данными . Кроме того, через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.
  • Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
  • Экспонента — выпуклая функция.
  • Обратная функция к ней — натуральный логарифм .
  • Фурье-образ экспоненты не существует.
  • Однако преобразование Лапласа существует.
  • Производная в нуле равна , поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом .
  • Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:
    .
    • Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна , либо имеет вид , где  — некоторая константа.

Комплексная экспонента[править | править вики-текст]

График экспоненты в комплексной плоскости.
Легенда

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением , где есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты вещественного переменного :

Определим формальное выражение

.

Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции , то есть показать, что разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

Сходимость данного ряда легко доказывается:

.

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция всюду определена и аналитична.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Комплексная экспонента — целая голоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в ноль.
  •  — периодическая функция с основным периодом 2πi: . В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой .
  • — единственная функция, производная (а также соответственно и интеграл) которой равен самой себе.
  • Алгебраически экспонента от комплексного аргумента может быть определена следующим образом:
    (формула Эйлера)

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента[править | править вики-текст]

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы Следовательно, экспонента от матрицы всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение с начальным условием имеет своим решением

h-экспонента[править | править вики-текст]

Введение -экспоненты основано на втором замечательном пределе:

При получается обычная экспонента[1].

Обратная функция[править | править вики-текст]

Обратная функция к экспоненциальной функции — натуральный логарифм. Обозначается :

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
  • Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]