G-функция Барнса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

G-функция Барнса (обычно обозначаемая G(z)) — функция, которая расширяет понятие суперфакториала на поле комплексных чисел. Она связана с Гамма-функцией, K-функцией и постоянной Глейшера—Кинкелина. G-функция названа в честь английского математика Эрнеста Уильяма Барнса[1].

Формально G-функция Барнса определяется (в форме произведения Вейерштрасса) как

где γ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Дифференциальные уравнения, функциональные уравнения и частные значения[править | править вики-текст]

G-функция Барнса удовлетворяет разностному уравнению

G(n)=sf(n-2), где sf(x) - суперфакториал x
G(8)=sf(6)=6!5!4!3!2!=24883200

если принять, что G(1)=1. В дифференциальном уравнении подразумевается, что G принимает следующие значение при целых значениях аргумента:

таким образом

где Γ — Гамма-функция и K — K-функция. Дифференциальное уравнение единственным образом определяет G-функцию, если добавлено условие выпуклости: [2].

Дифференциальное уравнение для G-функции и функциональное уравнение для Гамма-функции приводят к следующим функциональным уравнениям для G-функции, доказанным Германом Кинкелиным:

Формула умножения[править | править вики-текст]

Схожая с Гамма-функцией, G-функция также имеет формулу умножения[3]:

где

Здесь  — это дзета-функция Римана и  — это постоянная Глейшера—Кинкелина.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. E.W. Barnes, «The theory of the G-function», Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. 31 (1900), 264—314.
  2. M. F. Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL, Astérisque 61, 235—249 (1979).
  3. I. Vardi, Determinants of Laplacians and multiple gamma functions, SIAM J. Math. Anal. 19, 493—507 (1988).