H∞-управление

H на бесконечности или ${\mathcal {H}}_{\infty }$ — метод теории управления для синтеза оптимальных регуляторов. Метод является оптимизационным, имеющим дело со строгим математическим описанием предполагаемого поведения замкнутой системы и её устойчивости. Метод примечателен своей строгой математической базой, оптимизационным характером и применимостью как к классическому, так и устойчивому управлению.

${\mathcal {H}}$ является нормой в пространстве Харди. «Бесконечность» говорит о выполнении минимаксных условий в частотной области. ${\mathcal {H}}_{\infty }$-норма динамической системы, имеющая смысл максимального усиления системы по энергии. В случае MIMO-систем она равна максимальному сингулярному числу передаточной функции системы, в случае SISO-систем она равна максимальному значению амплитуды её частотной характеристики.

Постановка задачи

Сначала система должна быть приведена к стандартному виду:

Объект управления $\ P$ имеет два входа, два внешних воздействия $\ w$, которые включают задаточный сигнал и возмущения. Контролируемая переменная обозначена $\ u$. Это вектор выходных сигналов системы, состоящий из сигнала ошибки $\ z$, который надо минимизировать, и измеренная переменная $\ v$, которая используется в контуре управления. $\ v$ используется в K для подсчёта переменной $\ u$.

Уравнение системы:

${\begin{bmatrix}z\\v\end{bmatrix}}=P(s)\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P_{11}(s)&P_{12}(s)\\P_{21}(s)&P_{22}(s)\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}w\\u\end{bmatrix}}$

$u=K(s)\,v$

Таким образом возможно выразить зависимость $\ z$ от $\ w$:

$z=F_{l}(P,K)\,w$

И далее:

$F_{l}(P,K)=P_{11}+P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}$

Таким образом, целью ${\mathcal {H}}_{\infty }$-оптимального управления является синтез такого контроллера $\ K$, $\ F_{l}(P,K)$, который минимизировал бы ${\mathcal {H}}_{\infty }$-норму системы. То же относится и к ${\mathcal {H}}_{2}$-управлению. Норма на бесконечности матрицы$\ F_{l}(P,K)$ определяется как:

$||F_{l}(P,K)||_{\infty }=\sup _{\omega }{\bar {\sigma }}(F_{l}(P,K)(j\omega ))$

где ${\bar {\sigma }}$ — максимальное сингулярное число матрицы $\ F_{l}(P,K)(j\omega )$.

Найденный таким образом контроллер является оптимальным в ${\mathcal {H}}_{\infty }$-смысле. Существует также ряд приложений, в которых решается так называемая «задача малого усиления (англ. small gain problem)». В рамках этой задачи необходимо найти такой контроллер, который бы обеспечивал выполнение условия

$min(||F_{l}(P,K)||_{\infty })\leq 1$.

Эта задача иногда также называется «стандартной задачей ${\mathcal {H}}_{\infty }$-управления».

Преимущества и недостатки

H∞-управление имеет несколько особенностей в сравнении с другими методами синтеза робастных контроллеров. К преимуществам можно отнести:

• Метод работает с устойчивостью и чувствительностью системы.
• Простой одношаговый алгоритм.
• Точное формирование выходной частотной характеристики.

К недостаткам можно отнести то, что метод требует обращать особое внимание на параметрическую робастность объекта управления.

Свойства ${\mathcal {H}}_{\infty }$-контроллеров

1. Весовая функция ${\mathcal {H}}_{\infty }$-оптимального контроллера представляет собой фазовый фильтр, то есть для наименьшего сингулярного числа системы ${\bar {\sigma \ }}$ выполняется соотношение:

${\bar {\sigma \ }}(F_{l}(P,K))=1$ для любого $\omega \ \in R$

2. ${\mathcal {H}}_{\infty }$-оптимальный контроллер имеет порядок максимум $\ n-1$, где $\ n$ — порядок объекта управления.

Условия существования ${\mathcal {H}}_{\infty }$-контроллеров

Для того, чтобы существовал ${\mathcal {H}}_{\infty }$-контроллер в стандартной задаче:

$min(||F_{l}(P,K)||_{\infty })\leq 1$

необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. Представим замкнутую систему в виде уравнений в пространстве состояний:

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)$

$\mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)$

Должен существовать закон пропорционального управления $\ F(s)=K$ такой, чтобы наибольшее сингулярное число матрицы $\ D$ замкнутой системы удовлетворяло неравенству $\sigma _{n}\ (D)<1$

2. Уравнение Риккати для управления

Уравнение Риккати для управления по состояниям должно иметь вещественное, положительно-определённое решение $P\geq 0$.

3. Уравнение Риккати для наблюдателя

Уравнение Риккати для наблюдателя, работающего в паре с контроллером, должно иметь вещественное, положительно-определённое решение $S\geq 0$.

4. Ограничение по собственным числам:

Наибольшее собственное число произведения двух решений (для контроллера и наблюдателя) уравнений Риккати должно быть меньше единицы: $\lambda _{max}(PS)<1$

См. также

• Робастное управление

Библиография

• Егупов Н. Д., Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления. В 5 тт. Т. 3, Изд.2. 2004.616 с.
• R. Y. Chiang, Modern Robust Control Theory. Ph. D. Dissertation: USC,1988.