H∞-управление

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

H на бесконечности или  — метод теории управления для синтеза оптимальных регуляторов. Метод является оптимизационным, имеющим дело со строгим математическим описанием предполагаемого поведения замкнутой системы и её устойчивости. Метод примечателен своей строгой математической базой, оптимизационным характером и применимостью как к классическому, так и робастному управлению.

является нормой в пространстве Харди. «Бесконечность» говорит о выполнении минимаксных условий в частотной области. -норма динамической системы, имеющая смысл максимального усиления системы по энергии. В случае MIMO-систем она равна максимальному сингулярному числу передаточной функции системы, в случае SISO-систем она равна максимальному значению амплитуды её частотной характеристики.

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Сначала система должна быть приведена к стандартному виду:

H-infty plant representation.png

Объект управления имеет два входа, два внешних воздействия , которые включают задаточный сигнал и возмущения. Контролируемая переменная обозначена . Это вектор выходных сигналов системы, состоящий из сигнала ошибки , который надо минимизировать и измеренная переменная , которая используется в контуре управления. используется в K для подсчёта переменной .

Уравнение системы:

Таким образом возможно выразить зависимость от :

И далее:

Таким образом, целью -оптимального управления является синтез такого контроллера , , который минимизировал бы -норму системы. То же относится и к -управлению. Норма на бесконечности матрицы определяется как:

где  — максимальное сингулярное число матрицы .

Найденный таким образом контроллер является оптимальным в -смысле. Существует также ряд приложений, в которых решается так называемая «задача малого усиления (англ. small gain problem)». В рамках этой задачи необходимо найти такой контроллер, который бы обеспечивал выполнение условия

.

Эта задача иногда также называется «стандартной задачей -управления».

Преимущества и недостатки[править | править вики-текст]

H∞-управление имеет несколько особенностей в сравнении с другими методами синтеза робастных контроллеров. К преимуществам можно отнести:

  • Метод работает с устойчивостью и чувствительностью системы.
  • Простой одношаговый алгоритм.
  • Точное формирование выходной частотной характеристики.

К недостаткам можно отнести то, что метод требует обращать особое внимание на параметрическую робастность объекта управления.

Свойства -контроллеров[править | править вики-текст]

1. Весовая функция -оптимального контроллера представляет собой фазовый фильтр, то есть для наименьшего сингулярного числа системы выполняется соотношение:

для любого

2. -оптимальный контроллер имеет порядок максимум , где  — порядок объекта управления.

Условия существования -контроллеров[править | править вики-текст]

Для того, чтобы существовал -контроллер в стандартной задаче:

необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. Представим замкнутую систему в виде уравнений в пространстве состояний:

Должен существовать закон пропорционального управления такой, чтобы наибольшее сингулярное число матрицы замкнутой системы удовлетворяло неравенству

2. Уравнение Риккати для управления

Уравнение Риккати для управления по состояниям должно иметь вещественное, положительно-определённое решение .

3. Уравнение Риккати для наблюдателя

Уравнение Риккати для наблюдателя, работающего в паре с контроллером, должно иметь вещественное, положительно-определённое решение .

4. Ограничение по собственным числам:

Наибольшее собственное число произведения двух решений (для контроллера и наблюдателя) уравнений Риккати должно быть меньше единицы:

См. также[править | править вики-текст]

Библиография[править | править вики-текст]

  • Егупов Н. Д., Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления. В 5 тт. Т. 3, Изд.2. 2004.616 с.
  • R. Y. Chiang, Modern Robust Control Theory. Ph. D. Dissertation: USC,1988.