IEEE 754-2008

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

IEEE 754 (IEC 60559) — широко используемый стандарт IEEE, описывающий формат представления чисел с плавающей точкой. Используется в программных (компиляторы с разных языков программирования) и аппаратных (CPU и FPU) реализациях арифметических действий (математических операций).

Стандарт описывает:

Стандарт 2008 года заменяет IEEE 754-1985. В новый стандарт включены двоичные форматы из предыдущего стандарта и три новых формата. В соответствии с действующим стандартом, реализация должна поддерживать по крайней мере один из основных форматов, как и формат арифметики и формат обмена.

Список стандартов:

  • IEEE 754—1985;
  • IEEE 754—1997;
  • IEEE 754—2008.

Разработка стандарта[править | править вики-текст]

Текущая версия IEEE 754—2008 была опубликована в 2008 году. Она дополняет и заменяет предыдущую версию IEEE 754-1985, созданную Dan Zuras и отредактированную Mike Cowlishaw.

Международный стандарт ISO/IEC/IEEE 60559:2011 (с идентичным IEEE 754—2008) был одобрен и опубликован для JTC1/SC 25 под соглашением ISO/IEEE PSDO.

Бинарные форматы в первоначальном стандарте включены в новый стандарт наряду с тремя новыми основными форматами (одним бинарным и двумя десятичными). Для того, чтобы соответствовать текущему стандарту, реализация должна реализовать по крайней мере один из основных форматов.

По состоянию на сентябрь 2015 года, стандарт пересматривается с целью включения уточнений.

Формат[править | править вики-текст]

Формат IEEE 754 представляет собой «совокупность представлений числовых значений и символов». Формат может также включать в себя способ кодирования.

Формат включает:

  • Числа, которые могут рассматриваться в двоичной или десятичной системе счисления. Вещественное число представляется тремя целыми числами, где S=знак (0 для положительного и 1 для отрицательного), С=мантисса (коэффициент), Q=экспонента. Для заданных целых чисел S, C, Q значением соответствующего вещественного числа является: (−1)s × c × bq , где b является основанием (2 или 10). Например, число с основанием 10, битом знака 1 (число отрицательное), мантиссой 12345 и экспонентой −3 определяют число (−1)1 × 12345 × 10−3 = −12.345.
  • Положительный нуль +0 и отрицательный нуль -0.
  • Две бесконечности: +∞ и −∞.
  • Два вида NaN: тихий NaN (qNaN) и сигнализационный NaN (sNaN). NaN может нести полезную нагрузку, предназначенный для диагностической информации, указывающей источник, вызвавший NaN. Знак NaN не имеет никакого значения, но может быть предсказуемым в некоторых случаях.

Возможные конечные значения, которые могут быть представлены в формате, определяются основанием b, количеством знаков в мантиссе (с точностью р) и максимальным значением emax:

  • c должен быть целым числом в диапазоне от нуля до bp−1 (если b=10 и p=7 тогда с может быть от 0 до 9999999)
  • q должно быть целым числом, чтобы 1−emaxq+p−1 ≤ emax (если p=7 и emax=96 тогда q может быть от −101 до 90).

Следовательно (для предыдущего примера) наименьшее отличное от нуля положительное число, которое может быть представлено 1 × 10-101 а самым большим 9999999 × 1090 (9,999999 × 1096), а также полный спектр чисел от −9,999999 × 1096 до 9,999999 × 1096. Числа -b1-emax и b1-emax (−1 × 10-95 и 1 × 10-95) являются самыми маленькими (по абсолютной величине) нормальными числами; ненулевые числа между этими наименьшими числами называются субнормальные.

Представление и кодирование в памяти[править | править вики-текст]

Некоторые числа могут иметь несколько представлений в формате, в котором они были только что описаны. Например, если b = 10 и р = 7, то число −12,345 может быть представлено как: −12345 × 10-3, −123450 × 10-4 или −1234500 × 10-5.

Для десятичных форматов любое представление справедливо, и совокупность этих представлений называется когортами. Когда результат может иметь несколько представлений, стандарт определяет, какой выбран членом когорты.

Для бинарных форматов представление делается уникальным путём выбора наименьшего представляемого показателя. Для чисел с показателем в нормальном диапазоне (не все из них или все нули), ведущий бит мантиссы всегда будет равен 1. Следовательно, ведущий 1 бит может подразумеваться, а не сохраняться явно в памяти. Это правило называется ведущей битной конвенцией или скрытой битной конвенцией. Правило позволяет сберечь 1 бит памяти, чтобы иметь ещё один бит точности. Ведущий бит конвенции не используется для субнормальных чисел; их показатель находится за пределами нормального диапазона значений.

Основные и взаимозаменяемые форматы[править | править вики-текст]

Стандарт определяет пять основных форматов, которые названы по их числовой базе и количеству бит, используемых в их кодировке. Существуют три базовых формата двоичной плавающей запятой (закодированные с 32, 64 или 128 битами) и два десятичных формата с плавающей запятой (кодируются 64 или 128 битами). Форматы binary32 и binary64 - это одиночные и двойные форматы IEEE 754-1985. Соответствующая реализация должна полностью реализовать по крайней мере один из основных форматов.

В стандарте также определены форматы обмена, которые обобщают эти основные форматы. Для двоичных единиц требуется соглашение с ведущими битами. В таблице перечислены наименьшие форматы обмена (включая базовые).

Название Полное

название

Основание Кол-во двоичных

разрядов мантиссы

Число десятичных разрядов Экспонента (бит) Десятичный
E max
Смещение экспоненты[1] E min E max Примечания
binary16 Половинная точность 2 11 3.31 5 4.51 24−1 = 15 −14 +15 Не основной
binary32 Одинарная точность 2 24 7.22 8 38.23 27−1 = 127 −126 +127
binary64 Двойная точность 2 53 15.95 11 307.95 210−1 = 1023 −1022 +1023
binary128 Четырёхкратная точность 2 113 34.02 15 4931.77 214−1 = 16383 −16382 +16383
binary256 Восьмикратная точность 2 237 71.34 19 78913.2 218−1 = 262143 −262142 +262143 Не основной
decimal32 10 7 7 7.58 96 101 −95 +96 Не основной
decimal64 10 16 16 9.58 384 398 −383 +384
decimal128 10 34 34 13.58 6144 6176 −6143 +6144

Обратите внимание: в приведенной выше таблице минимальные показатели указаны для обычных чисел. Специальное представление субнормальных чисел позволяет представить даже меньшие числа (с некоторой потерей точности). Например, наименьшее число двойной точности, большее нуля, которое может быть представлено в этой форме, равно 2-1074 (потому что 1074 = 1022 + 53 - 1).

Точность binary32 и binary64 в диапазоне от 10−12 до 1012.

Десятичное значение - это значение × log10 основание, это дает приблизительную точность в десятичной системе.

Десятичное E max - это emax × log10 основание, это дает максимальную степень в десятичном формате.

Как было указано ранее, форматы binary32 и binary64 идентичны форматам IEEE 754-1985 и являются двумя наиболее распространенными форматами, используемыми сегодня. На рисунке справа показана абсолютная точность для форматов binary32 и binary64 в диапазоне от 10-12 до 10 + 12. Такой показатель может быть использован для выбора подходящего формата с учетом ожидаемого значения числа и требуемой точности.

Расширенные и расширяемые форматы точности[править | править вики-текст]

Стандарт так же определяет расширенные и расширяемые форматы точности, которые рекомендованы для обеспечения большей точности, чем базовые форматы. Расширенный формат точности расширяет базовый формат, используя более высокую точность и более широкий диапазон экспоненты. Расширенный формат точности позволяет пользователю задавать диапазон точности и экспоненты. Реализация может использовать любое внутреннее представление, которое оно выбирает для таких форматов. Все, что нужно определить - это параметры b, p и emax. Эти параметры однозначно описывают множество конечных чисел (комбинаций знака и экспоненты для данного основания), которые он может представлять.

Стандарт не требует реализации для поддержки расширенных или расширяемых точных форматов.

В стандарте рекомендуется, чтобы языки предоставляли метод задания значений p и emax для каждого поддерживаемого основания b.

В стандарте рекомендуется, чтобы языки и реализации поддерживали расширенный формат, который имеет более высокую точность, чем самый большой базовый формат, поддерживаемый для каждого основания b.

Для расширенного формата с точностью между двумя основными форматами диапазон экспоненты должен быть таким же большим, как у следующего более широкого базового формата. Так, например, 64-битное расширенное двоичное число с расширенной точностью должно иметь значение emax не менее 16383.

Форматы обмена[править | править вики-текст]

Форматы обмена предназначены для обмена данными с плавающей запятой с использованием битовой строки фиксированной длины.

Для обмена двоичными числами с плавающей запятой определены форматы обмена длиной 16 бит, 32 бита, 64 бита и любое краткое из 32 битов ≥128. 16-разрядный формат предназначен для обмена или хранения небольших чисел (например, для графики).

Схема кодирования этих двоичных форматов обмена такая же, как и для IEEE 754-1985: знаковый бит, за которым следуют индексы, которые описывают смещение экспоненты, и p-1 биты, которые описывают значение. Ширина поля экспоненты для k-битового формата вычисляется как w = round(4 log2(k))−13. Существующие 64- и 128-битные форматы следуют этому правилу, но 16- и 32-битные форматы имеют больше битов степени (5 и 8), чем эта формула предоставила бы (3 и 7 соответственно).

Как и в IEEE 754-1985, существует некоторая гибкость в кодировании NaN.

Для обмена десятичными числами с плавающей запятой определены форматы обмена для любого кратного 32 бита.

Правила округления[править | править вики-текст]

Стандарт определяет пять правил округления. Первые два правила округляются до ближайшего значения, другие называются направленными скруглениями.

Округление до ближайшего[править | править вики-текст]

  •     Округление до ближайшего (привязка к четному) - округление до ближайшего значения. Число округляется до ближайшего значения с четным (нулевым) наименее значимым битом, который происходит в 50% случаев. Это вариант по умолчанию для двоичной плавающей запятой и рекомендованный вариант по умолчанию для десятичного числа.
  •     Округление до ближайшего (привязка от нуля) - до ближайшего значения. Число округляется до ближайшего значения (для положительных чисел) или ниже (для отрицательных чисел). Это предназначено как опция для десятичной плавающей запятой.

Направленные округления[править | править вики-текст]

  •     Округление до 0 - направленное округление к нулю (также известное как усечение).
  •     Округление до + ∞ - направленное округление к положительной бесконечности (также известное как округление вверх или потолок).
  •     Округление до - ∞ - направленное округление к отрицательной бесконечности (также известное как округление вниз или пол).
Пример округления до целых чисел
Режим / Пример +11.5 +12.5 −11.5 −12.5
до ближайшего (привязка к четному) +12.0 +12.0 −12.0 −12.0
до ближайшего (привязка от нуля) +12.0 +13.0 −12.0 −13.0
до 0 +11.0 +12.0 −11.0 −12.0
до + ∞ +12.0 +13.0 −11.0 −12.0
до - ∞ +11.0 +12.0 −12.0 −13.0

Необходимые операции[править | править вики-текст]

Требуемые операции для поддерживаемого арифметического формата (включая базовые форматы) включают в себя:

  •     Арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, квадратный корень, слияние нескольких умножений, остаток)
  •     Конверсии (между форматами, строками и т. д.)
  •     Масштабирование и квантование (для десятичных)
  •     Копирование и манипулирование знаками (отрицание и т. д.)
  •     Сравнение и общий порядок
  •     Классификация и испытание (для NaN и т. д.)
  •     Флаги тестирования и установки
  •     Прочие операции

Предикат общего порядка[править | править вики-текст]

Стандарт предоставляет предикат totalOrder, который определяет общий порядок для всех чисел с плавающей точкой для каждого формата. Предикат согласуется с обычными операциями сравнения. Однако обычные операции сравнения обрабатывают NaN как неупорядоченные и сравнивают -0 и +0 как равные. Предикат totalOrder будет упорядочивать эти случаи, и также различать различные представления NaN для одного и того же числа с плавающей запятой, закодированное различными способами.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Decimal Arithmetic Encodings. IBM. Проверено 6 августа 2015.

Ссылки[править | править вики-текст]