U(1)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

(унитарная группа порядка 1) в математике — мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице: . Является также одномерной группой Ли и представляет собой окружность. Изоморфна группе вращений двумерного вещественного пространства.

Названия и обозначения[править | править вики-текст]

Группа называется унитарной, так как комплексное число, по модулю равное единице, можно понимать как унитарную матрицу размера . Данная группа естественным образом изоморфна группе вращений вещественной плоскости (так как комплексную плоскость можно рассматривать как вещественное двумерное пространство). Обозначается иногда как или в связи с тем, что квадрат этой группы представляет собой тор; в некоторых областях математики торами называют произведения нескольких групп , не обязательно двух; см. напр. Максимальный тор.

упоминается также как комплексная (единичная) окружность (в комплексном анализе: ) или просто «окружность» ( или ).

Некоторые свойства[править | править вики-текст]

Группа компактна, и является единственно возможной (вещественной) одномерной компактной и связной группой Ли. В любой компактной группе Ли положительной размерности можно найти подгруппу, изоморфную .

Группа не является односвязной.

Элементарное толкование[править | править вики-текст]

Сложение углов:
150° + 270° = 60°

Элементы группы определяют, фактически, величину угла: комплексное число можно записать как (причём будет уже вещественным), а умножение комплексных чисел перейдёт в сложение углов. Таким образом, группу можно понимать как группу поворотов окружности, или же группу поворотов всей плоскости вокруг начала координат.

Углы, различающиеся на целое число оборотов (, если мерить угол в радианах), будут совпадать. Например, сумма двух поворотов на и будет равна нулю. Таким образом, группа изоморфна фактор-группе группы вещественных чисел по модулю . Если измерять угол в оборотах (), то  — группа дробных частей вещественных чисел.

Применение[править | править вики-текст]

является важнейшим объектом в теории двойственности Понтрягина; через неё определяется преобразование Фурье. Часто используется в любом контексте, вовлекающем комплексные числа, зачастую без прямого её упоминания как группы («умножение на число, по модулю равное единице» и т. д.).

В физике калибровочная -теория — электродинамикауравнениями Максвелла в качестве классических уравнений движения). В квантовой механике  — «физически неразличимые» преобразования вектора состояния системы, не меняющие ничего наблюдаемого (то есть не меняющие ничего, в принципе доступного наблюдению). См. также Калибровочная инвариантность.

См. также[править | править вики-текст]