Z-преобразование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты , то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Определение[править | править вики-текст]

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее

Двустороннее Z-преобразование[править | править вики-текст]

Двустороннее Z-преобразование дискретного временного сигнала задаётся как:

где  — целое,  — комплексное число.

где  — амплитуда, а  — угловая частота (в радианах на отсчёт)

Одностороннее Z-преобразование[править | править вики-текст]

В случаях, когда определена только для , одностороннее Z-преобразование задаётся как:

Обратное Z-преобразование[править | править вики-текст]

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

где  — контур, охватывающий область сходимости . Контур должен содержать все вычеты .

Положив в предыдущей формуле , получим эквивалентное определение:

Область сходимости[править | править вики-текст]

Область сходимости представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:

Пример 1 (без области сходимости)[править | править вики-текст]

Пусть . Раскрывая на интервале , получаем

Смотрим на сумму:

Поэтому, не существует таких значений , которые бы удовлетворяли условию сходимости.

Таблица некоторых Z-преобразований[править | править вики-текст]

Обозначения:

  •  — функция Хевисайда.
  • для , иначе  — дельта Кронекера.
Сигнал, Z-преобразование, Область сходимости
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]