Геометрія чисел

Геометрія чисел — розділ теорії чисел, який вивчає опуклі тіла і цілочисельні решітки в багатовимірному просторі.

Більш загально можна сказати, що це застосування в теорії чисел геометричних понять і методів. Наприклад, якщо рівняння або нерівності має рішення в цілих числах, то це означає, що геометричне тіло, яке визначається цим рівнянням або нерівністю, містить одну або більше точок цілочисельної решітки. У ході досліджень було доведено фундаментальна теорема Мінковського, з якої автор отримав ряд важливих наслідків в теорії лінійних і квадратичних форм, а також в теорії діофантових наближень. Згодом істотний внесок у геометрію чисел внесли Георгій Вороний, Морделла, Девенпорт, Зігель та інші.

Геометрії чисел має тісний зв'язок з іншими областями математики, особливо з функціональним аналізом та діофантовими наближеннями.

Результати Мінковського

Припустимо, що Γ є решіткою в n-вимірному евклідовому просторі $\mathbb {R} ^{n}$ і K є опуклим центрально-симетричним тілом. Теорема Мінковського, яку іноді називають першою теоремою Мінковського, стверджує, що якщо $vol(K)>2^{n}vol(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )$, то K містить ненульовий вектор у Γ.

Друга теорема Мінковського посилює першу теорему. Формулюється наступним чином.

Нехай послідовність мінімумів λ_k визначається як інфімум чисел λ таких, що λK містить k лінійно незалежних векторів Γ. Тоді теорема Мінковського про послідовні мінімуми стверджує, що

$\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\cdots vol(K)\leqslant 2^{n}vol(\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).$

Пізніші дослідження в геометрії чисел

У 1930–1960 дослідження з геометрії чисел проводилося багатьма теоретиками (в тому числі Луісом Морделла, Гарольдом Девенпортом і Карлом Людвігом Зігелем). В останні роки Ленстра, Бріон, Барвінок розробили комбінаторні теорії, які перераховують решітки точок в деяких опуклих тілах.

Теорема про підпростір В. М. Шмідта

В геометрії чисел, теорему про підпростір було отримано Вольфгангом Шмідтом в 1972 році.

У ній говориться, що якщо L₁,…,L_n лінійно незалежні лінійні форми від n змінних з алгебраїчними коефіцієнтами і якщо ε> 0 будь-яке дійсне число, то ненульові цілі точки x з

$|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }$

лежать в скінченному числі лінійних підпросторів $\mathbb {Q} ^{n}$.

Джерела

• Мінковський Г. Геометрія чисел. Лейпциг, 1911 р. (перевидана в 1996 р.)
• Чеботарьов М. Г. Нотатки з алгебри і теорії чисел. Вчені записки Казанського Університету, 1934. (перевидана в 1994 р.)
• Касселс Дж. В. С. Геометрія чисел. М.: Мир, 1965.
• Колмогоров А. М., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX століття. М.: Наука.
• Том 1 Математична логіка. Алгебра. Теорія чисел. Теорія ймовірностей. 1978, стор 143–151.
• Грубер П. М., Леккеркеркер К. Г. Геометрія чисел, М.: Наука, 2008. ISBN 5-02-036036-8
• J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions).
• M. Grötschel, L. Lovász, A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988
• Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])