Вариация однолистной функции

Вариация однолистной функции — понятие теории однолистных функций.

Для определения вариации рассмотрим однолистную функцию $f(z)$ комплексного переменного $z$ в некоторой области $D$ плоскости и зависящее от вещественного параметра $\lambda$, где $0\leqslant \lambda \leqslant \Lambda ,\;\Lambda >0$, семейство $F(z,\;\lambda )$ функций, также однолистных в $D$ при каждом фиксированном $\lambda \in [0,\;\Lambda ]$. Составим разность $F(z,\;\lambda )-F(z,\;0)\equiv \Phi (z,\;\lambda )$, считая при этом, что $F(z,\;0)=f(z)$.

Тогда вариацией $n$-го порядка, или $n$-й вариацией ($n=1,\;2,\;\ldots$) однолистной функции $f(z)$ по семейству $F(z,\;\lambda )$ называется коэффициент $q_{n}(z)$ при $\lambda ^{n}$ в разложении $\Phi (z,\;\lambda )$ по параметру $\lambda$ при условии, что остаточный член

$\varphi _{n}(z,\;\lambda )=\Phi (z,\;\lambda )-q_{1}(z)\lambda -q_{2}(z)\lambda ^{2}-\ldots -q_{n}(z)\lambda ^{n}$

имеет порядок малости более высокий, чем $\lambda ^{n}$, равномерно относительно $z$ или в области $D$, или внутри $D$, или в замыкании $D$. Выбор одного из указанных дополнительных условий обычно предопределяется задачей, в исследовании которой используются вариационные методы, связанные с вариацией однолистной функции.

Впервые вычисления и применения вариаций первого порядка однолистных функций были проведены Ж. Адамаром, а позднее М. А. Лаврентьевым.

Получение вариаций в некотором классе однолистных функций может представлять весьма сложную самостоятельную задачу, что связано с нелинейностью семейств этих функций. Задача решена только для некоторых классов функции в односвязных и многосвязных областях.

Литература

• Голузин, Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / под ред. В. И. Смирнова. — 2-е изд. — М.: Наука, 1966. — 628 с.