Группа узла

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Группа узла — характеристика узла, определяемая как фундаментальная группа его дополнения.

Определение

[править | править код]

Пусть есть узел. Тогда группа узла определяется как фундаментальная группа .[1].

Комментарий

[править | править код]

По другим соглашениям узел рассматривается как вложение окружности в 3-сферу. В этом случае группу узла определяют как фундаментальную группу его дополнения в . Оба определения дают изоморфные группы.

  • Два эквивалентных узла имеют изоморфные группы узлов, так что группа узла является инвариантом узла и может быть использована для установления неэквивалентности пары узлов. Однако два неэквивалентных узла могут иметь изоморфные группы узлов (см. пример ниже).
  • Группу узлов (а также фундаментальную группу ориентированных зацеплений в общем случае) можно вычислить с помощью сравнительно простых алгоритмов, используя представление Виртингера[англ.].
  • Группа тривиального узла изоморфна .
    • Обратное также верно.
  • Группа трилистника изоморфна группе кос , эта группа имеет задание:
    или .
  • Группа -торического узла обладает заданием:
    .
  • Группа восьмёрки имеет задание:
    .
  • Прямой узел и бабий узел имеют изоморфные группы узлов, но узлы эти не эквивалентны.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Узлов и зацеплений группы — статья из Математической энциклопедии
  • Болтянский В.Г.,Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.