Дерево (теория графов)

Дерево — связный ациклический граф. Связность означает наличие маршрута между любой парой вершин, ацикличность — отсутствие циклов. Отсюда, в частности, следует, что число рёбер в дереве на единицу меньше числа вершин, а между любыми парами вершин имеется один и только один путь.

Лес — множество деревьев.

Ориентированное (направленное) дерево — ациклический ориентированный граф, в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода 1 (в них ведёт ровно по одной дуге). Вершина с нулевой степенью захода называется корнем дерева, вершины с нулевой степенью исхода (из которых не исходит ни одна дуга) называются концевыми вершинами или листьями.

Связанные определения

• Степень вершины — количество инцидентных ей ребер.
• Концевой узел (лист, терминальная вершина) — узел со степенью 1 (то есть узел, в который ведёт только одно ребро; в случае ориентированного дерева — узел, в который ведёт только одна дуга и не исходит ни одной дуги).
• Узел ветвления — неконцевой узел.
• Дерево с отмеченной вершиной называется корневым деревом.
  • $m$-й ярус дерева $T$ — множество узлов дерева, на уровне $m$ от корня дерева.
  • частичный порядок на вершинах: $u\prec v$, если вершины $u$ и $v$ различны и вершина $u$ лежит на (единственной!) элементарной цепи, соединяющей корень с вершиной $v$.
  • корневое поддерево с корнем $v$ — подграф $\{v\}\cup \{w\mid v<w\}$.
  • В контексте, где дерево предполагается имеющим корень, дерево без выделенного корня называется свободным.
• Уровень узла — длина пути от корня до узла. Можно определить рекурсивно:

1. уровень корня дерева $T$ равен 0;
2. уровень любого другого узла на единицу больше, чем уровень корня ближайшего поддерева дерева $T$, содержащего данный узел.

• Остовное дерево (остов) — это подграф данного графа, содержащий все его вершины и являющийся деревом. Рёбра графа, не входящие в остов, называются хордами графа относительно остова.
• Несводимым называется дерево, в котором нет вершин степени 2.
• Лес — множество (обычно упорядоченное), не содержащее ни одного непересекающегося дерева или содержащее несколько непересекающихся деревьев.
• Центроид — вершина, при удалении которой размеры получившихся компонент связности не превышают ${\dfrac {n}{2}}$ (половины размера исходного дерева)

Двоичное дерево

Простое бинарное дерево размера 9 и высоты 3, с корнем значения 2. Это дерево не сбалансировано и не отсортировано.

Термин двоичное дерево (применяется так же термин бинарное дерево) имеет несколько значений:

• Неориентированное дерево, в котором степени вершин не превосходят 3.
• Ориентированное дерево, в котором исходящие степени вершин (число исходящих рёбер) не превосходят 2.
• Абстрактная структура данных, используемая в программировании. На двоичном дереве основаны такие структуры данных, как двоичное дерево поиска, двоичная куча, красно-чёрное дерево, АВЛ-дерево, фибоначчиева куча и др.

N-арные деревья

N-арные деревья определяются по аналогии с двоичным деревом. Для них также есть ориентированные и неориентированные случаи, а также соответствующие абстрактные структуры данных.

• N-арное дерево (неориентированное) — это дерево (обычное, неориентированное), в котором степени вершин не превосходят N+1.
• N-арное дерево (ориентированное) — это ориентированное дерево, в котором исходящие степени вершин (число исходящих рёбер) не превосходят N.

Свойства

• Дерево не имеет кратных рёбер и петель.
• Любое дерево с $n$ вершинами содержит $n-1$ ребро. Более того, конечный связный граф является деревом тогда и только тогда, когда $B-P=1$, где $B$ — число вершин, $P$ — число рёбер графа.
• Граф является деревом тогда и только тогда, когда любые две различные его вершины можно соединить единственной простой цепью.
• Любое дерево однозначно определяется расстояниями (длиной наименьшей цепи) между его концевыми (степени 1) вершинами.
• Любое дерево является двудольным графом.
• Любое дерево, множество вершин которого не более чем счётное, является планарным графом.
• Для любых трёх вершин дерева, пути между парами этих вершин имеют ровно одну общую вершину.

Подсчёт деревьев

Основная статья: Теорема Кэли о числе деревьев

• Число различных деревьев, которые можно построить на $n$ нумерованных вершинах, равно $n^{n-2}$ (Теорема Кэли).
• Производящая функция

$T(z)=\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}z^{n}$

для числа $T_{n}$ неизоморфных корневых деревьев с $n$ вершинами удовлетворяет функциональному уравнению

$T(z)=z\exp \sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{r}}T(z^{r})$.

• Производящая функция

$t(z)=\sum _{n=1}^{\infty }t_{n}z^{n}$

для числа $t_{n}$ неизоморфных деревьев с $n$ вершинами можно представить с помощью перечисляющего ряда для корневых деревьев:

$t(z)=T(z)-{\frac {1}{2}}\left(T^{2}(z)-T(z^{2})\right).$

• При $n\to \infty$ верна следующая асимптотика

$t_{n}\sim C\alpha ^{n}/n^{5/2}$

где $C$ и $\alpha$ определённые константы, $C=0,534948...$, $\alpha =2,95576...$.

Кодирование деревьев

• Дерево можно кодировать наборами из нулей и единиц. Рассмотрим, например, укладку дерева на плоскости. Начиная с какой-либо вершины будем двигаться по ребрам дерева, сворачивая в каждой вершине на ближайшее справа ребро и поворачивая назад в концевых вершинах дерева. Проходя по некоторому ребру, записываем $0$ при движении по ребру в первый раз и $1$ при движении по ребру второй раз (в обратном направлении). Если $m$ — число рёбер дерева, то через $2m$ шагов мы вернемся в исходную вершину, пройдя по каждому ребру дважды. Полученная при этом последовательность из $0$ и $1$ (код дерева) длины $2m$ позволяет однозначно восстанавливать не только само дерево $D$, но и его укладку на плоскости. Произвольному дереву соответствуют несколько таких кодов. В частности, из этого способа кодирования вытекает следующая грубая оценка на число деревьев с $n$ вершинами:

  $t_{n}\leq T_{n}<2^{2n}$

• Код Прюфера сопоставляет произвольному конечному дереву с $n$ вершинами последовательность из $n-2$ чисел от $1$ до $n$ с возможными повторениями. Например дерево на рисунке имеет код Прюфера (4,4,4,5). Между деpевьями с помеченными вершинами и их кодами Прюфера существует взаимно однозначное соответствие. Из кода Прюфера выводится формула Кэли.
• Дерево можно задать в виде стpоки, содержащей символы, помечающие вершины деpева, а также открывающие и закрывающие кpуглые скобки. Между деpевьями и их линейными скобочными записями существует взаимно однозначное соответствие.

См. также

• Глоссарий теории графов
• Лес непересекающихся множеств
• Список структур данных (деревья)

Литература

• Дональд Кнут. Искусство программирования, том = The Art of Computer Programming, vol. 1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: Вильямс, 2006. — Т. 1. Основные алгоритмы. — 720 с. — ISBN 0-201-89683-4.
• Оре О. Теория графов. — 2-е изд. — М.: Наука, 1980. — 336 с.
• Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1973. — 302 с.