Задача Аполлония

Зада́ча Аполло́ния — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трёх данных окружностей.

Восемь различных решений задачи Аполлония

Задача решается с помощью применения двух операций: инверсии и перехода к концентрическим окружностям.

История

По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания» под псевдонимом Эпафай (Ἐπαφαί=Epaphaí. «Tangencies»), которая была потеряна, но была восстановлена в 1600 году Франсуа Виетом, «галльским Аполлонием», как его называли современники. Работа была упомянута Паппом Александрийским в IV веке.

В 1816 году Ж. Жергонн дал изящное решение задачи Аполлония.

В современных системах компьютерной математики есть специальные операторы для решения этой задачи. В Maple это — оператор Apollonius из пакета geometry.

Примечание

В своём сочинении «Касания» Аполлоний имел в виду три окружности касательной геометрии, то есть окружности с радиусом от 0 (точка) до бесконечности (прямая). Таким образом, для задачи Аполлония существует 10 глобальных случаев:

1. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трёх точек.

   Решение: Соединим эти точки. Проведём к получившимся отрезкам серединные перпендикуляры. Они пересекутся в одной точке. Эта точка — центр искомой окружности.

2. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух точек (далее Α и Β) и прямой (далее а). Сначала проведём прямую ΑΒ.

   Решение:

   1. Если АВ не параллельна а, то найдём их пересечение С. Построим среднее геометрическое отрезков ΑС и ΒС. Отложим равные ему отрезки СΚ и CK' на прямой а. Окружности, описанные около ΔΑΒΚ  и ΔΑΒΚ' — искомые.
   2. Если ΑΒ||а, то проведём серединный перпендикуляр к отрезку ΑΒ и отметим точку Κ его пересечения с прямой a. Окружность, описанная около ΔΑΒΚ — искомая.
3. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки и двух прямых.

   Решение:

   1. Если прямые не параллельны, то возьмём точку их пересечения. Назовём угол между этими прямыми α. Соединим точку пересечения прямых с заданной точкой Μ. Назовём получившийся отрезок а. Впишем в угол α произвольную окружность, которая пересечёт а, и отметим её центр Ο и точку пересечения с а (каждая даст своё решение) Α. Проведём прямую ΑΟ. Проведём параллельную ей прямую через Μ и биссектрису угла α. Их пересечение будет центром искомой окружности.
   2. Если прямые параллельны, построим прямую ΑΒ (Α и Β — точки пересечения с заданными прямыми), перпендикулярную им. Проведём к отрезку ΑΒ серединный перпендикуляр b. Проведём окружность с центром в заданной точке и радиусом, равным половине ΑΒ. Её пересечение с b будет центром искомой окружности.
4. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трёх прямых.

   Решение:

   1. Если среди них нет параллельных, то отметим точки их пересечения Α, Β и С. Окружность, вписанная в ΔΑΒС — искомая.
   2. Если только 2 прямые параллельны, то единственная точка пересечения биссектрис углов, образованных параллельными прямыми и третьей прямой, будет центром искомой окружности.
   3. Если все три прямые параллельны друг другу, то окружности не существует.
5. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух точек (далее Α и Β) и окружности (далее ω).
   1. Если А и В не лежат на ω, то проведём окружность Ω, содержащую точки А и В и имеющую с ω общие точки. Проведём радикальную ось Ω и ω и пересечём её с АВ. Проведём из точки пересечения касательную к ω и отметим точку касания Κ. Опишем окружность около ΔΑΒΚ. Она — искомая. Каждая касательная даст своё решение.
   2. Если только А лежит на ω, то проведём касательную к ω в точке А и построим точку В', симметричную В относительно А. Далее проведём окружность через А, В и точку, симметричную В' относительно проведённой касательной. Она будет искомой. Если В лежит на касательной, то такой окружности не существует. Если ВА перпендикулярен касательной, то искомая окружность — окружность с диаметром АВ.
   3. Если А и В лежат на ω, ω — искомая.
6. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки и двух окружностей.
7. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух прямых и окружности.
8. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся прямой и двух окружностей.
9. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки, прямой и окружности.
10. построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трёх окружностей.

О решениях

• Наиболее известно решение основанное на применении инверсии.

Литература

• Аргунов Б. И., Балк М. Б. . Геометрические построения на плоскости. — М.: Учпедгиз, 1957. — 268 с.
• Pappus of Alexandria Pappus d'Alexandrie: La collection mathématique (фр.). — Paris, 1933.
• Simon, M. Über die Entwicklung der Elementargeometrie im XIX. Jahrhundert (нем.). — Berlin: Teubner, 1906. — S. 97—105.
• Camerer, J. G. Apollonii de Tactionibus, quae supersunt, ac maxime lemmata Pappi, in hos libros Graece nunc primum edita, e codicibus manuscriptis, cum Vietae librorum Apollonii restitutione, adjectis observationibus, computationibus, ac problematis Apolloniani historia (лат.). — Gothae: Ettinger, 1795.

Ссылки

• Boyd, DW The osculatory packing of a three-dimensional sphere (англ.) // Canadian Journal of Mathematics : journal. — 1973. — Vol. 25. — P. 303—322. — doi:10.4153/CJM-1973-030-5.
• Gisch D., Ribando J. M. Apollonius' Problem: A Study of Solutions and Their Connections (англ.) // American Journal of Undergraduate Research : journal. — 2004. — Vol. 3. — P. 15—25.
• Ask Dr. Math solution  (неопр.). Mathforum. Дата обращения: 5 мая 2008.
• Weisstein, Eric W. Apollonius' problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Austin, David. When kissing involves trigonometry  (неопр.). Feature Column at the American Mathematical Society website (март 2006). Дата обращения: 5 мая 2008.