Компактификация

Компактификация — операция, которая преобразует топологические пространства в компактные.

Определение

Формально компактификация пространства $X$ определяется как пара $(Y,\;f)$, где $Y$ компактно, $f:X\to Y$ вложение такое, что $f(X)$ плотно в $Y$.

Примеры

• Вещественная проективная плоскость является одной из компактификаций Евклидовой плоскости. Другая её (одноточечная) компактификация гомеоморфна сфере.

Одноточечная компактификация

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть $Y=X\cup \{\infty \}$ и открытыми множествами в $Y$ считаются все открытые множества $X$, а также множества вида $O\cup \{\infty \}$, где $O\subseteq X$ имеет замкнутое и компактное (в $X$) дополнение. $f$ берётся как естественное вложение $X$ в $Y$. $(Y,\;f)$ тогда компактификация, причём $Y$ хаусдорфово тогда и только тогда, когда $X$ хаусдорфово и локально компактно.

Примеры

• $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны.
  • В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с $\mathbb {R}$ (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$.
  • Аналогично, $\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}$ гомеоморфно $n$-мерной сфере.

Компактификация Стоуна — Чеха

На компактификациях некоторого фиксированного пространства $X$ можно ввести частичный порядок. Положим $f_{1}\leqslant f_{2}$ для двух компактификаций $f_{1}:X\to Y_{1}$, $f_{2}:X\to Y_{2}$, если существует непрерывное отображение $g:Y_{2}\to Y_{1}$ такое, что $gf_{2}=f_{1}$. Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха и обозначается $\beta X$. Для того, чтобы у пространства $X$ существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы $X$ удовлетворяло аксиоме отделимости $T_{3{\frac {1}{2}}}$, то есть было вполне регулярным.