Молекулярно-кинетическая теория

Молекуля́рно-кинети́ческая тео́рия (МКТ) — физическая теория, созданная в XIX в., рассматривающая строение вещества, в основном газов, с точки зрения трёх основных приближённо верных положений:

Движение молекул идеального газа (показаны два сорта молекул) в сосуде. Температура определяется средней кинетической энергией молекул.

• все тела состоят из частиц: атомов, молекул и ионов;
• частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом);
• частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений.

МКТ стала одной из самых успешных физических теорий и была подтверждена многочисленными опытными фактами. Главным доказательством состоятельности МКТ явилось объяснение на её основе таких явлений как диффузия, броуновское движение и изменение агрегатных состояний вещества.

На базе МКТ развит ряд разделов современной физики, в частности, физическая кинетика и статистическая механика. В этих разделах изучаются не только молекулярные (атомные или ионные) системы, находящиеся не только в «тепловом» движении, и взаимодействующие не только через абсолютно упругие столкновения. Термин же молекулярно-кинетическая теория в современной теоретической физике уже практически не используется, хотя он встречается в учебниках по курсу общей физики.

История теории

Началом становления МКТ послужила теория М. В. Ломоносова. Ломоносов опытным путём опроверг теории о теплороде и флогистоне, подготовив тем самым, молекулярно-кинетическую теорию XIX века Рудольфа Клаузиуса, Людвига Больцмана и Джеймса Максвелла.

Основное уравнение МКТ

Основное уравнение МКТ имеет вид

$P={\frac {1}{3}}mn{\overline {v^{2}}}$.

Оно связывает макроскопические параметры (такие как давление $P$, объём $V$, температура $T$) газа с микроскопическими (масса частиц, средняя скорость их движения). В приведённой формуле $m$ — масса одной молекулы газа, $n$ (м^-3) — концентрация молекул, ${\overline {v^{2}}}$ — средний квадрат скорости молекул. Уравнение может быть переписано так, чтобы $V$ и $T$ в него входили явно.

Релятивистское выражение для этой формулы

$P={\frac {2\rho c^{2}}{3}}\left((1-{\overline {v^{2}}}/c^{2})^{-1/2}-1\right)$,

где $\rho =mn$ — плотность движущегося вещества, $c$ — скорость света. В пределе малых скоростей выражение превращается в $P\approx \rho {\overline {v^{2}}}/3$.

Вывод основного уравнения

Пусть имеется кубический сосуд с ребром длиной $L$ и одна частица массой $m$ в нём. Введя координатные оси так, чтобы они были параллельны рёбрам куба, рассмотрим движение частицы вдоль оси $x$ и соударения с одной из граней (стенок), параллельных плоскости $yz$.

Обозначим компоненту скорости движения вдоль оси $x$ через $v_{x}$. Модуль этой компоненты неизменен всё время, но знак меняется при соударениях со стенкой. $x$-составляющая импульса частицы до её столкновения со стенкой равна $mv_{x}$, а после столкновения $-mv_{x}$, поэтому стенке передаётся импульс

$\Delta p=2m|v_{x}|$.

Время, через которое частица сталкивается с одной и той же стенкой:

$\Delta t={\frac {2L}{|v_{x}|}}$.

Сила, действующая со стороны частицы на стенку, равна нулю всё время, кроме момента удара, в модели считаемого бесконечно коротким, когда эта сила бесконечна. Поэтому можно говорить не о «мгновенной», а об эффективной силе:

$F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {mv_{x}^{2}}{L}}$.

Если в сосуде не одна, а $N$ не взаимодействующих между собой частиц, то сила будет суммироваться по всем частицам. При этом, по-прежнему, модуль $x$-проекции скорости отдельной частицы неизменен, но для разных частиц различен. Соответственно, появляется усреднение квадрата проекции скорости:

$F_{\Sigma }=F_{1}+F_{2}+\ldots +F_{N}={\frac {Nm{\overline {v_{x}^{2}}}}{L}}$.

Скорость частицы состоит из трёх компонент, и из теоремы Пифагора $v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}$. Это равенство можно усреднить по всем частицам:

${\overline {v^{2}}}={\overline {v_{x}^{2}}}+{\overline {v_{y}^{2}}}+{\overline {v_{z}^{2}}}$,

причём, ввиду эквивалентности направлений, три члена в правой части обязаны быть одинаковыми. В результате

${\overline {v_{x}^{2}}}={\frac {1}{3}}\,{\overline {v^{2}}}$,

после чего получается

$F_{\Sigma }={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3L}}$.

Если учесть, что давление есть сила на единицу площади, а $S=L^{2}$, имеем

$P={\frac {F_{\Sigma }}{S}}={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3L^{3}}}={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3V}}$,

где $V$ — объём рассмотренного кубического сосуда. Это и есть основное уравнение МКТ, поскольку $N/V=n$.

Температура в уравнении МКТ

Кинетическая энергия движения $N$ молекул газа может быть записана как

$K_{\Sigma }=N{\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}=N{\overline {\frac {mv^{2}}{2}}}=N{\overline {K}}$,

где через $K$ обозначена кинетическая энергия одной частицы. В этих обозначениях основное уравнение МКТ переписывается в виде

$PV={\frac {2}{3}}K_{\Sigma }$.

Согласно уравнению состояния идеального газа,

$PV=Nk_{B}T$,

где $T$ — температура. а $k_{B}$ — постоянная Больцмана. Из сравнения двух последних выражений видно, что

${\overline {K}}={\frac {3}{2}}\,k_{B}T$,

то есть что температура выступает мерой средней кинетической энергии частиц.

При потребности в формулах можно провести преобразования с использованием соотношений для количества вещества (числа молей) $\nu =N/N_{A}$ ($N_{A}$ — постоянная Авогадро) и газовой постоянной $R=N_{A}k_{B}$.

Средняя скорость частиц

Понятием «средняя скорость» охватывается несколько величин. Одна из средних скоростей, так называемая среднеквадратичная скорость, — это корень из среднего квадрата скорости:

${\overline {v_{q}}}={\sqrt {\overline {v^{2}}}}$.

Она может быть выписана на основе уравнений выше, учитывая, что там фигурировала ${\overline {v^{2}}}$, а именно:

${\overline {v_{q}}}={\sqrt {\frac {3k_{B}T}{m}}}$.

Если учесть, что $N_{A}m=M$, где $M$ — молярная масса газа, получим

${\overline {v_{q}}}={\sqrt {\frac {3k_{B}TN_{A}}{M}}}$.

Другие средние скорости (например, средний модуль скорости) не могут быть определены таким образом, для их нахождения используется распределение Максвелла.

См. также

• Физическая кинетика
• Статистическая механика
• Статистическая физика
• Распределение Максвелла

Литература

• Кинетическая теория газов // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Гиршфельд Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М., 1961
• Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. Л., 1975
• Кикоин А. К., Кикоин И. К. Молекулярная физика. М., 1996