Константа Миллса

Константа Миллса A — действительное число, одна из констант в теории чисел. Константа Миллса определяется как минимальное действительное число $A>1$ такое, что для всех целых положительных $n$ числа

$P_{n}=\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor ,$

являются простыми, где $\lfloor \cdot \rfloor$ обозначает целую часть (округление вниз).

Неизвестно, является ли A рациональным числом.

Константа названа в честь Уильяма Миллса, доказавшего её существование в 1947 году . Точное значение этой константы неизвестно, однако, если предположить, что гипотеза Римана верна, то значение можно найти: A = 1,3063778838630806904686144926….

Гипотеза Римана подразумевает через её следствие — гипотезу Линделёфа,^{[неоднозначно]} что существуют простые числа между кубами двух последовательных натуральных чисел.

Простые числа Миллса

Простые числа Миллса — это простые числа, найденные по указанной выше формуле при условии верности гипотезы Римана:^{[неоднозначно]}

• $n=1\;\;\;P_{n}=2$
• $n=2\;\;\;P_{n}=11$
• $n=3\;\;\;P_{n}=1\,361$
• $n=4\;\;\;P_{n}=2\,521\,008\,887$
• $n=5\;\;\;P_{n}=16\,022\,236\,204\,009\,818\,131\,831\,320\,183$
• $n=6\;\;\;P_{n}=4\,113\,101\,149\,215\,104\,800\,030\,529\,537\,915\,953\,170\,486\,139\,623\,539\,759\,933\,135\,949\,994\,882\,770\,404\,074\,832\,568\,499$
• $\ldots$.

Есть и другой факт относительно этих чисел: если $P_{i}$ — i-е число в этой последовательности, то $P_{i}$ может быть найдено как наименьшее простое число, следующее за $P_{i-1}^{3}$. Он может быть использован для получения оценочных неравенств на константу Миллса.

Численные вычисления

В 2005 году было высчитано более семи тысяч знаков A в предположении верности гипотезы Римана.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Mills' Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Who remembers the Mills number?, E. Kowalski.
• Awesome Prime Number Constant, Numberphile.