Полигамма-функция

Дигамма-функция $\psi (x)$

Тригамма-функция $\psi '(x)$

Тетрагамма-функция $\psi ''(x)$

Пентагамма-функция $\psi '''(x)$

Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции,

$\psi ^{(m)}(z)={\frac {{\rm {d}}^{m}}{{\rm {d}}z^{m}}}\psi (z)={\frac {{\rm {d}}^{m+1}}{{\rm {d}}z^{m+1}}}\ln \Gamma (z)\;,$

где $\Gamma (z)$ — гамма-функция, а

$\psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}$

— дигамма-функция, которую также можно определить через сумму следующего ряда:

$\psi (z)=\psi ^{(0)}(z)=-\gamma +\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+1}}-{\frac {1}{k+z}}\right)\;,$

где ${\textstyle {\gamma }}$ — постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комплексного $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ (в указанных точках функция ${\textstyle {\psi (z)}}$ имеет сингулярности первого порядка).

Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum \limits _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}\;,\qquad m>0\;,$

который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z. Это представление также справедливо для любого комплексного $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ (в указанных точках функция ${\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}$ имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица,

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z)\;.$

В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m.

Отметим, что в литературе ${\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}$ иногда обозначается как ${\textstyle {\psi _{m}(z)}}$ или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция ${\textstyle {\psi '(z)=\psi ^{(1)}(z)}}$ называется тригамма-функцией, ${\textstyle {\psi ''(z)=\psi ^{(2)}(z)}}$ — тетрагамма-функцией, ${\textstyle {\psi '''(z)=\psi ^{(3)}(z)}}$ — пентагамма-функцией, ${\textstyle {\psi ^{(4)}(z)}}$ — гексагамма-функцией, и т. д.

Интегральное представление

Полигамма-функция может быть представлена как

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}{\rm {d}}t$

Это представление справедливо для Re z >0 и m > 0. При m=0 (для дигамма-функции) интегральное представление может быть записано в виде

$\psi (z)=\psi ^{(0)}(z)=-\gamma +\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}}{\rm {d}}t=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{z-1}}{1-t}}{\rm {d}}t\;,$

где ${\textstyle {\gamma }}$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Асимптотические разложения

При $z\to \infty \;$ ($\;|\operatorname {arg} \;{z}|<\pi$) справедливо следующее разложение с использованием чисел Бернулли:

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m-1}\left[{\frac {(m-1)!}{z^{m}}}+{\frac {m!}{2z^{m+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k+m-1)!\;B_{2k}}{(2k)!\;z^{2k+m}}}\right]$

Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид

$\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}\;,$

где ζ обозначает дзета-функцию Римана. Этот ряд сходится при |z| < 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица.

Частные значения

Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана,

$\psi ^{(m)}(1)=(-1)^{m+1}m!\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0$

$\psi ^{(m)}({\tfrac {1}{2}})=(-1)^{m+1}m!\;(2^{m+1}-1)\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0\;,$

а для дигамма-функции (при m=0) —

$\psi (1)=\psi ^{(0)}(1)=-\gamma \;,$

$\psi ({\tfrac {1}{2}})=\psi ^{(0)}({\tfrac {1}{2}})=-\gamma -2\ln {2}\;,$

где ${\textstyle {\gamma }}$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.

Другие формулы

Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

$\psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\;m!}{z^{m+1}}}\;,$

а также формуле дополнения

$\psi ^{(m)}(1-z)+(-1)^{m+1}\;\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m}\pi {\frac {{\rm {d}}^{m}}{{\rm {d}}z^{m}}}\cot(\pi z)\;.$

Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

$\psi ^{(m)}(kz)={\frac {1}{k^{m+1}}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right),\qquad m>0$

а для дигамма-функции ($m=0$) к правой части надо добавить lnk,

$\psi (kz)=\ln {k}+{\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).$

См. также

• Дигамма-функция
• Тригамма-функция

Ссылки

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. §6.4 Polygamma Functions // Handbook of Mathematical Functions (англ.). — New York: Dover Publications, 1964. — ISBN 0-486-61272-4.
• Weisstein, Eric W. Polygamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.