Полярон

Полярон
Состав	Квазичастица: состоит из электрона и сопровождающего его поля поляризации
Классификация	Различают поляроны малого радиуса (при $r_{p}<a$), промежуточного радиуса ($r_{p}\approx a$), большого радиуса ($r_{p}\gg a$)., ТИ-поляроны
Теоретически обоснована	С. И. Пекар в 1946 году
Названа в честь	поляризация
Количество типов	4
Квантовые числа
Спин	${\frac {1}{2}}$

Поляро́н — квазичастица в кристалле, состоящая из электрона и сопровождающего его поля упругой деформации (поляризации) решётки. Медленно движущийся электрон в диэлектрическом кристалле, взаимодействующий с ионами решётки через дальнодействующие силы, будет постоянно окружён областью решёточной поляризации и деформации, вызванной движением электрона. Двигаясь через кристалл, электрон проводит решёточную деформацию, потому можно говорить о наличии облака фононов, сопровождающего электрон. Характер поляризации и энергия связи электрона с решёткой отличаются в металлах, полупроводниках и ионных кристаллах. Это связано с типом связи и скоростью движения электронов в решётке.

Понятие о поляроне введено советским физиком С. И. Пекаром в 1946 году, им же впоследствии была развита их теория. Эта теория основывается на электростатическом взаимодействии электрона проводимости на длинноволновые оптические фононы.

Поляроны в металлах

Поляризация решётки осуществляется не всеми электронами, а только фермиевскими электронами. В простейшем случае, для квадратичной дисперсии и сферической поверхности Ферми, эффективная масса фермиевских электронов $m^{*}\approx m_{0}$ ($m_{0}$ — масса свободного электрона), а их скорость близка к скорости Ферми $v_{F}\approx 10^{6}$ м/с. Принято говорить, что электрон в кристаллической решётке окружён «облаком» виртуальных фононов с дебаевской частотой. Чем больше поляризация, тем больше рождается виртуальных фононов. и тем сильнее связь электрона с решёткой. Энергия связи электрона с решёткой определяется константой электрон-фононного взаимодействия $\lambda$:

$\lambda ={\frac {1}{3}}{\frac {E_{p}}{\hbar \omega _{D}}}.$

Коэффициент $1/3$ учитывает существование трёх ветвей спектра фононов, а $\omega _{D}$ — дебаевская частота.

Электрон-фононное взаимодействие приводит к тому, что масса полярона $m_{p}$ становится больше массы «голого» электрона $m^{*}$

$m_{p}\approx m^{*}(1+\lambda ).$

Таким образом, поляроны в металлах являются отрицательно заряженными с зарядом $-e$ и эффективной массой $m_{p}$.

Поляроны в полупроводниках

В полупроводниках с ковалентной связью продольные оптические колебания слабо влияют на электроны и дырки, так как кристаллическая решётка состоит из нейтральных атомов, и продольные колебания не поляризуют решётку. Константа электрон-фононного взаимодействия в таких веществах слишком мала ($\lambda \approx 0{,}002-0{,}01$) для образования поляронов, и параметры зонного спектра и носителей заряда в полупроводниках не перенормируются в результате поляронного взаимодействия.

Поляроны в ионных кристаллах

Решётка ионных кристаллов образована положительно и отрицательно заряженными ионами, удерживаемыми вместе за счёт сил электростатического взаимодействия. Концентрация свободных электронов настолько мала, что электронный газ всегда невырожден, поэтому электроны и фононы находятся в тепловом равновесии. Поэтому при понижении температуры в ионных кристаллах может возникнуть автолокализация электронов в собственных потенциальных ямах за счёт притяжения к положительным ионам и отталкивания от отрицательных. При этом отрицательные и положительные ионы смещаются в противоположных направлениях, что эквивалентно возбуждению продольных оптических фононов, длина волны которых может варьироваться в широких пределах. Электроны эффективно взаимодействуют только с продольными оптическими колебаниями, длина волны которых больше расстояния, которое проходит электрон за период колебаний решётки, так как только в этом случае происходит изменение плотности кристалла, образование связанных электрических зарядов и поляризационного поля.

Различают поляроны большого и малого радиуса. Чем сильнее электрон поляризует решётку, тем больше эффективная зона поляризации и больше эффективная масса полярона. Размер полярона определяется соотношением между размером возмущенной области кристалла (радиусом полярона $r_{p}$) и постоянной решетки $a$. Различают поляроны малого радиуса (при $r_{p}<a$), промежуточного радиуса ($r_{p}\approx a$), большого радиуса ($r_{p}\gg a$). Спин полярона не зависит от радиуса и равен 1/2.

Поляроны малого радиуса

Неподвижный электрон, помещённый в кристалл, поляризует кристаллическую решётку. Энергия поляризации равна

$E_{p}\approx -{\frac {e^{2}}{\varepsilon ^{*}a}},$

где ${\frac {1}{\varepsilon ^{*}}}={\frac {1}{\varepsilon ^{\infty }}}-{\frac {1}{\varepsilon ^{0}}}$, а $\varepsilon ^{0}$ и $\varepsilon ^{\infty }$ — статическая и высокочастотная диэлектрические проницаемости соответственно. При характерных значениях $\varepsilon ^{0}\approx 10$, $\varepsilon ^{\infty }\approx 3$, $a\approx 0{,}5$ нм энергия поляризации $E_{p}$ равна $\approx 0{,}3$ эВ.

Суммарная энергия полярона малого радиуса равна

$E_{p}+V=-{\frac {e^{2}}{r_{p}\varepsilon ^{*}}}$

где $V$ — потенциальная энергия локализованного электрона, а $r_{p}={\frac {\pi ^{2}\varepsilon ^{*}\hbar ^{2}}{m^{*}e^{2}}}$ — характерный радиус полярона.

За счёт поляризации ионов решётки возбуждаются оптические фононы, поэтому эффективность поляризации можно характеризовать константой электрон-фононной связи $\lambda$, характеризующая число оптических фононов, возбуждённых в решётке. Если $W$ — ширина электронной зоны, характеризующая кинетическую энергию электронов, то полярон может образоваться лишь при условии $E_{p}>W$, и температура, ниже которой образуется полярон, задаётся соотношением

$T^{*}\approx {\frac {|E_{p}-W|}{k_{B}}}.$

Поэтому образование поляронов возможно только в достаточно узкозонных кристаллах с характерным значением $W\approx 0{,}2$ эВ. При образовании поляронов электронная зона сильно сужается и образуется поляронная зона шириной $W_{p}$, которую можно оценить по формуле

$W_{p}=W\exp(-\lambda ).$

При типичных энергиях полярона $E_{p}\approx 0{,}3$ эВ и оптического фонона $\hbar \omega _{0}\approx 0{,}3$ эВ величина $\lambda \approx 10$ и ширина поляронной зоны $W_{p}\approx W\exp(-10)=0{,}2e^{-10}$ эВ, что на четыре порядка меньше исходной электронной зоны. Поэтому такая узкая зона реализуется только в идеальных совершенных кристаллах, любые нарушения кристалличности приводят к локализации таких поляронов.

При $k_{B}T>\hbar \omega _{0}$ полярон малого радиуса перемещается термически активированными скачками с энергией активации порядка энергии полярона. Подвижность поляронов растёт приблизительно экспоненциально с ростом температуры.

Поляроны большого радиуса

В отличие от поляронов малого радиуса, поляроны большого радиуса образуются в ионных кристаллах с широкой зоной проводимости $\displaystyle {W\gg E_{p}}$, и константа электрон-фононной связи определяется выражением

$\lambda ={\frac {e^{2}{\sqrt {m^{*}\omega _{0}}}}{2\omega _{0}\varepsilon \hbar ^{3/2}}}\approx \mathrm {const} {\sqrt {\frac {\omega _{0}}{W}}}.$

При $\displaystyle {\lambda >10}$ образуется полярон большого радиуса, а при слабой электрон-фононной связи ($\lambda <1$) электрон поляризует решётку, но не локализуется в созданной им поляризационной яме. Расчёты дают выражения для массы и энергии полярона большого радиуса:

$m_{p}={\frac {m^{*}}{1-\lambda /6}},\ E_{p}=-\lambda \omega _{0}.$

Для реальных кристаллов наиболее интересна область промежуточных значений $1<\lambda <10$. При этих значениях нельзя получить аналитических выражений, но численные расчёты показывают, что предыдущие две формулы справедливы до $\lambda \approx 6$. Полная энергия полярона большого радиуса равна

$E_{0}=-{\frac {e^{2}}{r_{p}\varepsilon ^{*}}},$

что в два раза меньше, чем аналогичная энергия для полярона малого радиуса.

Подвижность поляронов

Поляроны большого радиуса не меняют качественно зонный спектр кристалла, их подвижность уменьшается обратно пропорционально увеличению их эффективной массы, перенормируются также их плотность состояний и скорость.

У поляронов малого радиуса подвижность сильно зависит от температуры. Если при низких температурах волновые функции поляронов перекрываются, то это приводит к образованию поляронной зоны с обычным зонным механизмом проводимости. При повышении температуры образуется система локализованных поляронов, и зонный механизм сменяется прыжковым. Прыжковую проводимость можно рассматривать как диффузную проводимость

$\mu \approx \mu _{0}\exp \left(-{\frac {E_{0}}{2k_{B}T}}\right)$,

где $\mu _{0}\sim 1/T$.

Структура поляронов

В реальности поляроны имеют внутреннюю структуру, так как поляронные потенциальные ямы при сильном электрон-фононном взаимодействии образуются из набора оптических фононов с разными длинами волн. Поляронные ямы могут иметь несколько уровней энергии, соответствующих разным распределениям заряда и различным радиусам. Эти уровни могут размываться в зоны вследствие конечности времени существования полярона или в результате того, что параметры поляронных ям варьируются из-за неоднородности вещества. Также поляроны исчезают в сильных электрических полях, так как скорость полярона не может быть больше групповой скорости продольных оптических фононов. При увеличении дрейфовой скорости электрон отрывается от потенциальной ямы, и она исчезает.

Биполяроны

В некоторых веществах два полярона с одинаковыми зарядами могут взаимно связываться, образуя биполярон. Биполярон представляет собой квазичастицу, состоящую из двух электронов, лежащих в общей потенциальной яме. Заряд биполярона равен $+2e$ либо $-2e$ соответственно заряду объединившихся поляронов, а спин в основном $s$-состоянии равен нулю. То есть биполяроны могут образовывать бозе-конденсат, так как подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна.

Литература

• Брандт Н. Б., Кульбачинский В. А. Квазичастицы в физике конденсированного состояния. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 632 с. — ISBN 5-9221-0564-7.
• Пекар С. И. Исследования по электронной теории кристаллов. — М.—Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1951. — 256 с.
• Фейнман Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1975.
• Поляроны : сборник / под ред. Ю. А. Фирсова. — М.: Наука, 1975.
• Каширина Н. И., Лахно В. Д. Математическое моделирование автолокализированных состояний в конденсированных средах. - М., Физматлит, 2014. - 292 с. - ISBN 978-5-9221-1530-8