Универсальное множество: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
какой ещё треугольник?
Метка: ручная отмена
Строка 23: Строка 23:
*:<math>\forall a \colon a \in \mathbb{U}</math>
*:<math>\forall a \colon a \in \mathbb{U}</math>
* В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.
* В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.
*:<math>\mathbb{U}= \mathbb{U}</math>
*:<math>\mathbb{U} \in \mathbb{U}</math>
* Любое множество является [[подмножество]]м универсального множества.
* Любое множество является [[подмножество]]м универсального множества.
*:<math>A \colon A \subseteq \mathbb{U}</math>
*:<math>\forall A \colon A \subseteq \mathbb{U}</math>
* В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.
* В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.
*:<math>\mathbb{U} \subseteq \mathbb{U}</math>
*:<math>\mathbb{U} \subseteq \mathbb{U}</math>
* [[Объединение множеств|Объединение]] универсального множества с треугольником равно универсальному множеству.
* [[Объединение множеств|Объединение]] универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.
*:<math> \mathbb{U} \cup \triangle= \mathbb{U} </math>
*:<math>\forall A \colon \mathbb{U} \cup A = \mathbb{U} </math>
* В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
* В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
*:<math>\mathbb{U} \cup \mathbb{U} = \mathbb{U}</math>
*:<math>\mathbb{U} \cup \mathbb{U} = \mathbb{U}</math>
* Объединение любого множества с его [[Разность множеств|дополнением]] равно треугольнику.
* Объединение любого множества с его [[Разность множеств|дополнением]] равно универсальному множеству.
*:<math>A \cup A^\complement = \triangle</math>
*:<math>A \cup A^\complement = \mathbb{U}</math>
* [[Пересечение множеств|Пересечение]] универсального множества с любым множеством..
* [[Пересечение множеств|Пересечение]] универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.
*:<math> \mathbb{U} \cap A = P(A)</math>
*:<math>\forall A \colon \mathbb{U} \cap A = A</math>
* В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно треугольнику.
* В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
*:<math>\mathbb{U} \cap \mathbb{U} = \mathbb{U}</math>
*:<math>\mathbb{U} \cap \mathbb{U} = \mathbb{U}</math>
* Сложение универсума с пустым множеством равно [[Пустое множество|пустому множеству]].
* [[Разность множеств|Исключение]] универсального множества из любого множества равно [[Пустое множество|пустому множеству]].
*:<math>\varnothing +\mathbb{U} = \varnothing</math>
*:<math>\forall A \colon A \setminus \mathbb{U} = \varnothing</math>
* В частности, исключение треугольника из себя равно пустому множеству.
* В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.
*:<math>\triangle \setminus \triangle= \varnothing</math>
*:<math>\mathbb{U} \setminus \mathbb{U} = \varnothing</math>
* Исключение треугольника из дополнения универсального множества равно [[Дополнение (теория множеств)|дополнению]] пустого множества.
* Исключение любого множества из универсального множества равно [[Дополнение (теория множеств)|дополнению]] этого множества.
*:<math>\triangle\setminus \mathbb{U}^\complement = \varnothing^\complement</math>
*:<math>\forall A \colon \mathbb{U} \setminus A = A^\complement</math>
* Дополнение треугольника есть пустое множество.
* Дополнение универсального множества есть пустое множество.
*:<math>\triangle^\complement = \varnothing</math>
*:<math>\mathbb{U}^\complement = \varnothing</math>
* [[Симметрическая разность|Сложение]] универсального множества с любым множеством равна пустому множеству.
* [[Симметрическая разность]] универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.
*:<math> \mathbb{U} + B= \varnothing</math>
*:<math>\forall A \colon \mathbb{U} \triangle A = A^\complement</math>
* В частности, сложение универсального множества с самим собой равна треугольнику.
* В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.
*:<math>\mathbb{U}+\mathbb{U} = \triangle</math>
*:<math>\mathbb{U} \triangle \mathbb{U} = \varnothing</math>


== Виды ==
== Виды ==

Версия от 20:31, 14 сентября 2020


Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.

Универсальное множество обычно обозначается (от англ. universe, universal set), реже .

В аксиоматике Цермело — Френкеля парадокс Рассела со схемой выделения и парадокс Кантора показывают, что предположение о существовании такого множества ведёт к противоречию.

В аксиоматике фон Неймана — Бернайса — Гёделя существует универсальный класскласс всех множеств, но множеством он не является. Класс всех множеств является классом объектов категории Set.

В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория New Foundations[en] У. В. О. Куайна.

Также универсальным множеством называют множество объектов, рассматриваемых в каком-либо разделе математики. Для элементарной арифметики универсальным множеством является множество целых чисел, для аналитической геометрии плоскости универсальным множеством является множество всех упорядоченных пар действительных чисел[1].

На диаграммах Венна универсальное множество (в обоих значениях) изображается множеством точек некоторого прямоугольника; подмножества его точек изображают подмножества универсального множества[1].

В дальнейшем речь идёт о первом значении термина. Нижеприведённые формулы (за исключением ) верны и для второго значения, если через и обозначены соответственно любой элемент и любое подмножество множества .

Свойства универсального множества

  • Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.
  • В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.
  • Любое множество является подмножеством универсального множества.
  • В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.
  • Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.
  • В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
  • Объединение любого множества с его дополнением равно универсальному множеству.
  • Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.
  • В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.
  • Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.
  • В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.
  • Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.
  • Дополнение универсального множества есть пустое множество.
  • Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.
  • В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.

Виды

  • Дизъюнктивно-универсальное множество (ДУМ) G [2] порядка n и ранга p — это множество функций алгебры логики (ФАЛ) такое, что для любой существует набор функций такой, что:

См. также

Примечания

  1. 1 2 Столл, 1968, с. 25.
  2. С. А. Ложкин. Лекции по основам кибернетики, 2008 г. (PDF)

Литература

  • Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
  • Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.