где <math>p</math> — [[периметр|полупериметр]] треугольника: <math>p = \frac{1}{2}(a+b+c)</math>.
где <math>p</math> — [[периметр|полупериметр]] треугольника: <math>p = \tfrac{1}{2}\cdot(a+b+c)</math>.
Формула содержится в «Метрике» [[Герон|Герона Александрийского]] (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё [[Архимед]]у). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название [[Геронов треугольник|героновых]], простейшим героновым треугольником является [[египетский треугольник]].
Формула содержится в «Метрике» [[Герон|Герона Александрийского]] (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё [[Архимед]]у). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название [[Геронов треугольник|героновых]], простейшим героновым треугольником является [[египетский треугольник]].
Версия от 18:27, 13 ноября 2020
Фо́рмула Герона — формула для вычисления площадитреугольника по длинам его сторон :
Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.
Доказательство 1 (тригонометрическое):
,
где — угол треугольника, противолежащий стороне.
По теореме косинусов:
По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a2 = h2 + (c − d)2 и b2 = h2 + d2 — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем a2 − b2 = c2 − 2cd. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:
Для высоты h у нас было равенство h2 = b2 − d2, в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов:
Замечая, что , , , , получаем:
Используя основное равенство для площади треугольника и подставляя в него полученное выражение для h, в итоге имеем:
Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан , и и их полусумму [2]:
;
через длины высот , и и полусумму их обратных величин [3]:
;
через углы треугольника , и , полусумму их синусов и диаметр описанной окружности [4]:
где — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель[5]:
Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если , , , , , являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро противоположно ребру и так далее), тогда справедливы формулы[6][7]:
↑ Weisstein, Eric W. Heron’s Formula. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
↑Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.
↑Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
↑Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.
↑Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
↑W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1], pp. 16-17.
↑ Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132
Raifaizen, Claude H. A Simpler Proof of Heron's Formula (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Vol. 44. — P. 27—28. — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора