Окрестность: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Arventur (обсуждение | вклад) Свойства, замечание |
Arventur (обсуждение | вклад) |
||
Строка 31: | Строка 31: | ||
# если <math>U \in \sigma_{x}</math> и <math>V \supset U</math>, то <math>V \in \sigma_{x}</math>. |
# если <math>U \in \sigma_{x}</math> и <math>V \supset U</math>, то <math>V \in \sigma_{x}</math>. |
||
# пересечение конечного числа окрестностей из <math>\sigma_{x}</math> принадлежит <math>\sigma_{x}</math>. |
# пересечение конечного числа окрестностей из <math>\sigma_{x}</math> принадлежит <math>\sigma_{x}</math>. |
||
# <math>\forall</math> <math>U \in \sigma_{x}</math> <math>\exists</math> <math>V \in \sigma_{x}</math> такое, что <math>V \subset U</math> и |
# <math>\forall</math> <math>U \in \sigma_{x}</math> <math>\exists</math> <math>V \in \sigma_{x}</math> такое, что <math>V \subset U</math> и <math>V \in \sigma_{y}</math> для всех <math>y \in V</math>. |
||
Совокупность только открытых окрестностей обладает следующими свойствами: |
Совокупность только открытых окрестностей обладает следующими свойствами: |
||
Строка 37: | Строка 37: | ||
# если <math>U \in \sigma_{x}</math>, <math>V \in \sigma_{x}</math>, то <math>\exists</math> <math>W \subset U \cap V \in \sigma_{x}</math>. |
# если <math>U \in \sigma_{x}</math>, <math>V \in \sigma_{x}</math>, то <math>\exists</math> <math>W \subset U \cap V \in \sigma_{x}</math>. |
||
# если <math>U \in \sigma_{x}</math> и <math>y \in U</math>, то <math>\exists</math> <math>V \in \sigma_{y}</math>, <math>V \in U</math>. |
# если <math>U \in \sigma_{x}</math> и <math>y \in U</math>, то <math>\exists</math> <math>V \in \sigma_{y}</math>, <math>V \in U</math>. |
||
== Замечания == |
== Замечания == |
Версия от 10:53, 13 декабря 2020
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.
Определения
Математический анализ
Пусть произвольное фиксированное число.
Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от менее чем на , то есть .
В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .
В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
В метрическом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
Общая топология
Пусть задано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология.
- Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что .
- Аналогично окрестностью множества называется такое множество , что существует открытое множество , для которого выполнено .
Свойства
Совокупность всех окрестностей точки в топологическом пространстве обладает следующими свойствами (здесь - множества в топологическом пространстве, - точка в топологическом пространстве):[1]
- .
- если и , то .
- пересечение конечного числа окрестностей из принадлежит .
- такое, что и для всех .
Совокупность только открытых окрестностей обладает следующими свойствами:
- .
- если , , то .
- если и , то , .
Замечания
- Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.[2] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
- Окрестностью множества точек называется такое множество , что есть окрестность любой точки .
- Некоторые авторы разграничивают понятия окрестности точки на прямой или в евклидовом пространстве и ε-окрестности. Окрестностью точки на прямой они называют любой интервал, содержащий эту точку.[1]
[3], а окрестностью точки в евклидовом пространстве они называют произвольное открытое множество евклидова пространства, содержащее эту точку.[4]
Пример
Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда является открытой окрестностью, а — замкнутой окрестностью точки .
Вариации и обобщения
Проколотая окрестность
Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.
Формальное определение: Множество называется проколотой окрестностью (вы́колотой окрестностью) точки , если
где — окрестность .
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Окрестность // Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 430
- ↑ Рудин, 1975, с. 13.
- ↑ Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М., Л., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. — с. 33
- ↑ Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы. - М., МПИ, 1988. - с. 278
Литература
- Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
- У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.