Окрестность: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Arventur (обсуждение | вклад) |
Arventur (обсуждение | вклад) |
||
Строка 45: | Строка 45: | ||
* Окрестностью множества точек <math>M</math> называется такое множество <math>V</math>, что <math>V</math> есть окрестность любой точки <math>x\in M</math>. |
* Окрестностью множества точек <math>M</math> называется такое множество <math>V</math>, что <math>V</math> есть окрестность любой точки <math>x\in M</math>. |
||
* Некоторые авторы разграничивают понятия окрестности точки на прямой или в евклидовом пространстве и ε-окрестности. Окрестностью точки на прямой они называют любой [[интервал (математика)|интервал]], содержащий эту точку.<ref name="Enz"></ref> |
* Некоторые авторы разграничивают понятия окрестности точки на прямой или в евклидовом пространстве и ε-окрестности. Окрестностью точки на прямой они называют любой [[интервал (математика)|интервал]], содержащий эту точку.<ref name="Enz"></ref><ref>''[[Хинчин, Александр Яковлевич|Хинчин А. Я.]]'' Восемь лекций по математическому анализу. — М., Л., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. — с. 33</ref>, а окрестностью точки в евклидовом пространстве они называют |
||
⚫ | |||
<ref>''[[Хинчин, Александр Яковлевич|Хинчин А. Я.]]'' Восемь лекций по математическому анализу. — М., Л., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. — с. 33</ref>, а окрестностью точки в евклидовом пространстве они называют |
|||
⚫ | |||
== Пример == |
== Пример == |
Версия от 10:54, 13 декабря 2020
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.
Определения
Математический анализ
Пусть произвольное фиксированное число.
Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от менее чем на , то есть .
В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .
В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
В метрическом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
Общая топология
Пусть задано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология.
- Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что .
- Аналогично окрестностью множества называется такое множество , что существует открытое множество , для которого выполнено .
Свойства
Совокупность всех окрестностей точки в топологическом пространстве обладает следующими свойствами (здесь - множества в топологическом пространстве, - точка в топологическом пространстве):[1]
- .
- если и , то .
- пересечение конечного числа окрестностей из принадлежит .
- такое, что и для всех .
Совокупность только открытых окрестностей обладает следующими свойствами:
- .
- если , , то .
- если и , то , .
Замечания
- Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.[2] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
- Окрестностью множества точек называется такое множество , что есть окрестность любой точки .
- Некоторые авторы разграничивают понятия окрестности точки на прямой или в евклидовом пространстве и ε-окрестности. Окрестностью точки на прямой они называют любой интервал, содержащий эту точку.[1][3], а окрестностью точки в евклидовом пространстве они называют
произвольное открытое множество евклидова пространства, содержащее эту точку.[4]
Пример
Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда является открытой окрестностью, а — замкнутой окрестностью точки .
Вариации и обобщения
Проколотая окрестность
Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.
Формальное определение: Множество называется проколотой окрестностью (вы́колотой окрестностью) точки , если
где — окрестность .
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Окрестность // Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 430
- ↑ Рудин, 1975, с. 13.
- ↑ Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М., Л., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. — с. 33
- ↑ Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы. - М., МПИ, 1988. - с. 278
Литература
- Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
- У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.