Метод Феррари: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
При возведении в квадрат выражения b=2W*√(a²-4c+8aW²+16W^4) забыли возвести в квадрат 2, стоявшую перед W Метка: визуальный редактор отключён |
Метки: отменено с мобильного устройства из мобильной версии |
||
Строка 4: | Строка 4: | ||
Пусть уравнение <math>4</math>-й степени имеет вид |
Пусть уравнение <math>4</math>-й степени имеет вид |
||
{{Формула|<math>x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0</math>.|1}} |
{{Формула|<math>x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0</math>.|1}} |
||
Если <math>y_1</math> — произвольный корень [[Кубическое уравнение|кубического |
Если <math>y_1</math> — произвольный корень [[Кубическое уравнение|кубического укореньh>|2}} |
||
{{Формула|<math>y^3-b y^2+(ac-4d)y-a^2 d+4 b d-c^2=0</math>|2}} |
|||
([[Резольвента алгебраического уравнения|резольвенты]] основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух [[Квадратное уравнение|квадратных уравнений]] |
([[Резольвента алгебраического уравнения|резольвенты]] основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух [[Квадратное уравнение|квадратных уравнений]] |
||
: <math>x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d},</math> |
: <math>x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d},</math> |
Версия от 05:34, 28 февраля 2022
Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.
Описание метода
Пусть уравнение -й степени имеет вид
. | (1) |
Если — произвольный корень [[Кубическое уравнение|кубического укореньh>|2}} (резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.
Представим уравнение четвёртой степени в виде:
Его решение может быть найдено из следующих выражений:
-
- если , тогда, решив и, сделав подстановку , найдём корни:
- .
- если , тогда, решив и, сделав подстановку , найдём корни:
- , (любой знак квадратного корня подойдёт)
- , (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
- Здесь и — два независимых параметра, каждый из которых равен либо , либо . Количество возможных пар их значений равно четырём, и каждая пара производит один из четырёх корней изначального уравнения четвёртой степени. В случае, если какой-то из корней является кратным, количество дающих его пар значений и равно степени его кратности. В зависимости от выбора (при взятии кубического корня возникает неоднозначность) корни будут соответствовать парам в разном порядке.
Вывод
Пусть имеется уравнение канонического вида:
Обозначим корни уравнения как . Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение
Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это
Причём , — действительные числа. Тогда два других корня можно записать как
Здесь может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения
Выразим К через остальные коэффициенты:
или
Итого
Или
Отсюда
Заменяя , получаем резольвенту, решив которую, находим W
История
С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».
См. также
Ссылки
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|