Метод Феррари: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
При возведении в квадрат выражения b=2W*√(a²-4c+8aW²+16W^4) забыли возвести в квадрат 2, стоявшую перед W
Метки: отменено с мобильного устройства из мобильной версии
Строка 4: Строка 4:
Пусть уравнение <math>4</math>-й степени имеет вид
Пусть уравнение <math>4</math>-й степени имеет вид
{{Формула|<math>x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0</math>.|1}}
{{Формула|<math>x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0</math>.|1}}
Если <math>y_1</math> — произвольный корень [[Кубическое уравнение|кубического уравнения]]
Если <math>y_1</math> — произвольный корень [[Кубическое уравнение|кубического укореньh>|2}}
{{Формула|<math>y^3-b y^2+(ac-4d)y-a^2 d+4 b d-c^2=0</math>|2}}
([[Резольвента алгебраического уравнения|резольвенты]] основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух [[Квадратное уравнение|квадратных уравнений]]
([[Резольвента алгебраического уравнения|резольвенты]] основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух [[Квадратное уравнение|квадратных уравнений]]
: <math>x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d},</math>
: <math>x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d},</math>

Версия от 05:34, 28 февраля 2022

Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.

Описание метода

Пусть уравнение -й степени имеет вид

. (1)

Если  — произвольный корень [[Кубическое уравнение|кубического укореньh>|2}} (резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

если , тогда, решив и, сделав подстановку , найдём корни:
.
, (любой знак квадратного корня подойдёт)
, (три комплексных корня, один из которых подойдёт)


Здесь и — два независимых параметра, каждый из которых равен либо , либо . Количество возможных пар их значений равно четырём, и каждая пара производит один из четырёх корней изначального уравнения четвёртой степени. В случае, если какой-то из корней является кратным, количество дающих его пар значений и равно степени его кратности. В зависимости от выбора (при взятии кубического корня возникает неоднозначность) корни будут соответствовать парам в разном порядке.

Вывод

Пусть имеется уравнение канонического вида:

Обозначим корни уравнения как . Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение

Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это

Причём ,  — действительные числа. Тогда два других корня можно записать как

Здесь может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения

Выразим К через остальные коэффициенты:

или

Итого

Или

Отсюда

Заменяя , получаем резольвенту, решив которую, находим W

История

С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».

См. также

Ссылки