Метод Феррари: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Метки: отменено с мобильного устройства из мобильной версии |
отмена правки 120350365 участника 91.193.177.251 (обс.) Метка: отмена |
||
Строка 20: | Строка 20: | ||
::: <math>x=-{B\over 4A}\pm_s\sqrt{-\alpha\pm_t\sqrt{\alpha^2-4\gamma}\over 2},\qquad\beta=0</math>. |
::: <math>x=-{B\over 4A}\pm_s\sqrt{-\alpha\pm_t\sqrt{\alpha^2-4\gamma}\over 2},\qquad\beta=0</math>. |
||
: <math> P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma, </math> |
: <math> P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma, </math> |
||
: <math> Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\ |
: <math> Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8}, </math> |
||
: <math> R = -{Q\over 2} \pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}}</math>, (любой знак квадратного корня подойдёт) |
|||
: <math> U = \sqrt[3]{R}</math>, (три комплексных корня, один из которых подойдёт) |
|||
: <math> y = - {5 \over 6} \alpha +U + \begin{cases}U=0 &\to -\sqrt[3]{Q}\\U\ne 0 &\to {-P\over 3U}\end{cases}, </math> |
|||
: <math>W=\sqrt{ \alpha + 2 y}</math> |
|||
: <math> x = - {B \over 4 A} + { \pm_s W \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2 y \pm_s {2\beta\over W} \right) }\over 2 }.</math> |
|||
<br> |
|||
::Здесь <math>\pm_s</math> и <math>\pm_t</math> — два независимых параметра, каждый из которых равен либо <math>+</math>, либо <math>-</math>. Количество возможных пар их значений равно четырём, и каждая пара производит один из четырёх корней изначального уравнения четвёртой степени. В случае, если какой-то из корней является [[Корень многочлена#Свойства|кратным]], количество дающих его пар значений <math>\pm_s</math> и <math>\pm_t</math> равно степени его кратности. В зависимости от выбора <math>U</math> (при взятии кубического корня возникает неоднозначность) корни будут соответствовать парам в разном порядке. |
|||
== Вывод == |
== Вывод == |
Текущая версия от 06:22, 28 февраля 2022
Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.
Описание метода[править | править код]
Пусть уравнение -й степени имеет вид
. | (1) |
Если — произвольный корень кубического уравнения
(2) |
(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.
Представим уравнение четвёртой степени в виде:
Его решение может быть найдено из следующих выражений:
-
- если , тогда, решив и, сделав подстановку , найдём корни:
- .
- если , тогда, решив и, сделав подстановку , найдём корни:
- , (любой знак квадратного корня подойдёт)
- , (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
- Здесь и — два независимых параметра, каждый из которых равен либо , либо . Количество возможных пар их значений равно четырём, и каждая пара производит один из четырёх корней изначального уравнения четвёртой степени. В случае, если какой-то из корней является кратным, количество дающих его пар значений и равно степени его кратности. В зависимости от выбора (при взятии кубического корня возникает неоднозначность) корни будут соответствовать парам в разном порядке.
Вывод[править | править код]
Пусть имеется уравнение канонического вида:
Обозначим корни уравнения как . Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение
Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это
Причём , — действительные числа. Тогда два других корня можно записать как
Здесь может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения
Выразим К через остальные коэффициенты:
или
Итого
Или
Отсюда
Заменяя , получаем резольвенту, решив которую, находим W
История[править | править код]
С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».
См. также[править | править код]
Ссылки[править | править код]
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|