Производящая функция моментов: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
ArthurBot (обсуждение | вклад) м робот добавил: tr:Moment üreten fonksiyon |
|||
Строка 27: | Строка 27: | ||
Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам [[Характеристическая функция случайной величины|характеристических функций]] в силу похожести их определений. |
Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам [[Характеристическая функция случайной величины|характеристических функций]] в силу похожести их определений. |
||
* Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть <math>X,Y</math> суть две случайные величины, и <math>M_X(t) = M_Y(t),\; \forall t</math>. Тогда <math>\mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y</math>. В частности, если обе величины [[Абсолютно непрерывное распределение|абсолютно непрерывны]], то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины [[Дискретное распределение|дискретны]], то совпадение производящих функций моментов влечёт |
* Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть <math>X,Y</math> суть две случайные величины, и <math>M_X(t) = M_Y(t),\; \forall t</math>. Тогда <math>\mathbb{P}^X = \mathbb{P}^Y</math>. В частности, если обе величины [[Абсолютно непрерывное распределение|абсолютно непрерывны]], то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины [[Дискретное распределение|дискретны]], то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности. |
||
* Производящая функция моментов как функция случайно величины однородна: |
* Производящая функция моментов как функция случайно величины однородна: |
||
: <math>M_{aX}(t) = M_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R}</math>. |
: <math>M_{aX}(t) = M_X(at),\; \forall a \in \mathbb{R}</math>. |
Версия от 17:45, 7 января 2009
Производя́щая фу́нкция моме́нтов — способ задания вероятностных распределений. Используется чаще всего для вычисления моментов.
Определение
Пусть есть случайная величина с распределением . Тогда её производящей функцией моментов называется функция, имеющая вид
- .
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение производящей функции моментов можно переписать в виде:
- ,
то есть производящая функция моментов — это двустороннее преобразование Лапласа распределения случайной величины (с точностью до отражения).
Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины
Если случайная величина дискретна, то есть , то
- .
Пример. Пусть имеет распределение Бернулли. Тогда
- .
Если случайная величина абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то
- .
Пример. Пусть имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда
- .
Cвойства производящих функций моментов
Свойства производящих функций моментов во многом аналогичны свойствам характеристических функций в силу похожести их определений.
- Производящая функция моментов однозначно определяет распределение. Пусть суть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение производящих функций моментов влечёт совпадение функций вероятности.
- Производящая функция моментов как функция случайно величины однородна:
- .
- Производящая функция моментов суммы независимых случайных величин равна произведению их производящих функций моментов. Пусть суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда
- .
Вычисление моментов
- .