Рациональная функция: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
тупое копирование из Рациональная дробь |
немного причесал |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
⚫ | |||
[[Функция (математика)|Функция]] называется рациональной, если она может быть представлена в виде дроби: |
|||
:: <math>\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}</math> |
:: <math>\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}</math> |
||
где <math>P_n(x_1,\dots,x_n)</math>, <math>Q_m(x_1,\dots,x_m)</math> — [[многочлен]]ы. |
где <math>P_n(x_1,\dots,x_n)</math>, <math>Q_m(x_1,\dots,x_m)</math> — [[многочлен]]ы от любого числа переменных. |
||
Частным случаем являются рациональные функции одного переменного: |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
Другим частным случаем является отношение двух [[Линейная функция|линейных функций]] — [[дробно-линейная функция]]. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
где P(x) и Q(x) некоторые многочлены. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== Правильные дроби == |
|||
Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот. |
Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными [[Дробь (математика)|числовыми дробями]]. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот. |
||
Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби |
Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби |
||
Строка 24: | Строка 29: | ||
== См. также == |
== См. также == |
||
⚫ | |||
* [[Наипростейшая дробь]] |
* [[Наипростейшая дробь]] |
||
⚫ | |||
* [[Египетские дроби]] |
* [[Египетские дроби]] |
||
* [[Рациональная функция]] |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
== См. также == |
|||
* [[Рациональное число]] |
|||
* [[Дробно-линейная функция]] |
|||
* [[Список интегралов от рациональных функций]] |
* [[Список интегралов от рациональных функций]] |
||
Версия от 11:20, 6 февраля 2010
Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид
где , — многочлены от любого числа переменных.
Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:
- , где P(x) и Q(x) — многочлены.
Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.
Свойства
- Любое выражение, которое можно получить из переменных с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
- Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции.
- Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей (см. Метод неопределённых коэффициентов), это применяется при аналитическом интегрировании.
Правильные дроби
Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот.
Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби
Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения (a — вещественный корень Q(x)) либо (где не имеет действительных корней), причём степени k не больше кратности соответствующих корней в многочлене Q(x). На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.
C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским.
См. также
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |