Задача о клике: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Задача о клике''' относится к классу [[NP-полная задача|NP-полных задач]] в области [[Теория графов|теории графов]]. Впервые она была сформулирована в 1972 году Ричардом Карпом в его работе («Возможность редукции в комбинаторных задачах») ({{ |
'''Задача о клике''' относится к классу [[NP-полная задача|NP-полных задач]] в области [[Теория графов|теории графов]]. Впервые она была сформулирована в 1972 году Ричардом Карпом в его работе («Возможность редукции в комбинаторных задачах») ({{lang-en|«Reducibility Among Combinatorial Problems»}}) <ref>[http://www.cs.berkeley.edu/~luca/cs172/karp.pdf «Reducibility Among Combinatorial Problems»], Р. Карп, [[1972 год]] {{ref-en}}</ref> |
||
[[Image:6n-graf-clique.svg|right|300px|thumb|Граф с кликой размера 3.]] |
[[Image:6n-graf-clique.svg|right|300px|thumb|Граф с кликой размера 3.]] |
Версия от 11:40, 21 марта 2010
Задача о клике относится к классу NP-полных задач в области теории графов. Впервые она была сформулирована в 1972 году Ричардом Карпом в его работе («Возможность редукции в комбинаторных задачах») (англ. «Reducibility Among Combinatorial Problems») [1]
Кликой в неориентированном графе называется подмножество вершин, каждые две из которых соединены ребром графа. Иными словами, это полный подграф первоначального графа. Размер клики определяется как число вершин в ней. Задача разрешения выглядит так: существует ли в заданном графе G клика размера k? Соответствующая ей оптимизационная задача формулируется следующим образом: в заданном графе G требуется найти клику максимального размера. Это и есть задача о клике.
NP-полнота данной задачи следует из NP-полноты задачи о независимом множестве (вершин). Легко показать, что необходимым и достаточным условием для существования клики размера k является наличие независимого множества размера не менее k в дополнении графа. Это очевидно, поскольку полнота подграфа означает, что его дополнение не содержит ни одного ребра.
Другое доказательство NP-полноты можно найти в книге «Алгоритмы: построение и анализ» (Т.Кормен, Ч.Лейзерсон, Р.Ривест) [2]
Алгоритмы
Как и для любой NP-полной задачи, эффективного алгоритма для поиска клики заданного размера не существует. Перебор всех возможных подграфов размера k с проверкой того, является ли хотя бы один из них полным, — неэффективен, поскольку полное число таких подграфов в графе с V вершинами равно
Другой алгоритм работает так: две клики размера n и m «склеиваются» в большую клику размера n+m, причём кликой размера 1 полагается отдельная вершина графа. Алгоритм завершается, как только ни одного слияния больше произвести нельзя. Время работы данного алгоритма линейно, однако он является эвристическим, поскольку не всегда приводит к нахождению клики максимального размера. В качестве примера неудачного завершения можно привести случай, когда вершины, принадлежащие максимальной клике, оказываются разделены и находятся в кликах меньшего размера, причём последние уже не могут быть «склеены» между собой.
Литература
- Cook, Stephen A. (1971). "The Complexity of Theorem-Proving Procedures". Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing. Shaker Heights, Ohio. pp. 151–158. Дата обращения: 11 июня 2007.
{{cite conference}}
: Неизвестный параметр|booktitle=
игнорируется (|book-title=
предлагается) (справка) - Karp, Richard (1972). "Reducibility Among Combinatorial Problems". Proceedings of a Symposium on the Complexity of Computer Computations. Plenum Press.
{{cite conference}}
: Неизвестный параметр|booktitle=
игнорируется (|book-title=
предлагается) (справка) - Garey, Michael R.; Johnson, David S. (1979), Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W.H. Freeman, ISBN 0-7167-1045-5 A1.2: GT19, pg.194.
См. также
- Алгоритм Брона — Кербоша — быстрое нахождение клик
Примечания
- ↑ «Reducibility Among Combinatorial Problems», Р. Карп, 1972 год (англ.)
- ↑ "Алгоритмы. Построение и анализ", Т. Кормен, Ч. Лейзерсон, Р. Ривест, К. Штайн, 2005 год (рус.) (djvu-формат)
Ссылки
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |