Сходимость по Борелю: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Строка 16: | Строка 16: | ||
: <math>f(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}</math> |
: <math>f(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}</math> |
||
регулярна в нуле и ''С'' — [[множество]] всех её [[ |
регулярна в нуле и ''С'' — [[множество]] всех её [[Особенность (комплексный анализ)|особенных точек]]. Через каждую точку <math>P \in C</math> проведём [[отрезок]] <math>OP\,</math> и [[прямая|прямую]] <math>L_p\,,</math>, которая проходит через точку ''Р'' [[перпендикулярность|перпендикуллярно]] к <math>OP\,</math>. Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых <math>L_p\,,</math> обозначим <math>\Pi \,</math>. Тогда граница <math>\Gamma\,</math> области <math>\Pi \,</math> называется многоугольником Бореля функции ''f(z)'', а область <math>\Pi \,</math> её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд |
||
: <math> \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}</math> |
: <math> \sum_{k = 0}^\infty a_k z^{k}</math> |
||
является ''B''-сходящимся в области <math>\Pi \,</math> и не является ''B''-сходящимся в области <math>\Pi^* \,</math> — дополнены до <math>\Pi \,</math> . |
является ''B''-сходящимся в области <math>\Pi \,</math> и не является ''B''-сходящимся в области <math>\Pi^* \,</math> — дополнены до <math>\Pi \,</math> . |
Версия от 06:14, 18 июля 2011
Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. В общем, существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.
Определение
- Пусть дан числовой ряд Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел:
- где Sk — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда.
- Пусть дан числовой ряд Ряд называется сходящимся по Борелю (или B'-сходящимся), если существует интеграл:
Пример
Рассмотрим ряд Данный ряд является расходящимся для произвольного Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:
и сумма является определённой для отрицательных значений x.
Свойства
Пусть функция:
регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку проведём отрезок и прямую , которая проходит через точку Р перпендикуллярно к . Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых обозначим . Тогда граница области называется многоугольником Бореля функции f(z), а область её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд
является B-сходящимся в области и не является B-сходящимся в области — дополнены до .
См. также
Ссылки
- Borel summation method, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
- Borel Summation
Литература
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
- Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
- Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .