|
|
Строка 113: |
Строка 113: |
|
== История == |
|
== История == |
|
|
|
|
|
Произведение Кронекера названо в честь [[Кронекер, Леонард|Леонарда Кронекера]], несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли ''матрицей Зефусса''. |
|
Произведение Кронекера названо в честь [[Кронекер, Леопольд|Леопольда Кронекера]], несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли ''матрицей Зефусса''. |
|
|
|
|
|
[[Категория:Матрицы]] |
|
[[Категория:Матрицы]] |
Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается . Результатом является блочная матрица.
Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.
Определение
Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведением Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq
В более общем случае имеем
Если A и B представляют собой линейные преобразования V1 → W1 и V2 → W2, соответственно, то A ⊗ B представляет собой тензорное произведение двух отображений, V1 ⊗ V2 → W1 ⊗ W2.
Пример
- .
Билинейность, ассоциативность и некоммутативность
-
- где A, B и C есть матрицами, а k — скаляр.
Если A и B квадратные матрицы, тогда A B и B A являются перестановочно подобными, то есть, P = QT.
Транспонирование
Операция транспонирования является дистрибутивной относительно произведения Кронекера
Смешанное произведение
- Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда
- A B является обратной тогда и только тогда, когда A и B являются обратными, и тогда
Сумма и экспонента Кронекера
- Если A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и — единичная матрица размера k×k тогда можно определить сумму Кронекера как
Спектр, след и определитель
- Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ1, …, λn — собственные значения матрицы A и μ1, …, μq собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A B являются
Сингулярное разложение и ранг
Ненулевые сингулярные значения матрицы B:
Тогда произведение Кронекера A B имеет rArB ненулевых сингулярных значений
- Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений, значений
История
Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.