Окрестность: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
ZéroBot (обсуждение | вклад) м r2.7.1) (робот добавил: ja:近傍 (位相空間論) |
|||
Строка 28: | Строка 28: | ||
* Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность <math>V</math> была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество <math>U</math>. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию. |
* Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность <math>V</math> была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество <math>U</math>. Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию. |
||
* Прямо из определения следует, что <math>V</math> является окрестностью множества <math>M</math> тогда и только тогда, когда <math>V</math> есть окрестность любой точки <math>x\in M</math>. |
* Прямо из определения следует, что <math>V</math> является окрестностью множества <math>M</math> тогда и только тогда, когда <math>V</math> есть окрестность любой точки <math>x\in M</math>.love |
||
== Пример == |
== Пример == |
Версия от 18:08, 1 ноября 2011
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.
Определения
Математический анализ
Пусть произвольное фиксированное число.
Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от не более чем на , т.е. .
В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .
В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
В метрическом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
Общая топология
- Пусть задано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология. Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что .
- Аналогично окрестностью множества называется такое множество , что существует открытое множество , для которого выполнено .
Замечания
- Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
- Прямо из определения следует, что является окрестностью множества тогда и только тогда, когда есть окрестность любой точки .love
Пример
Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда является открытой окрестностью, а — замкнутой окрестностью точки .
Вариации и обобщения
Проколотая окрестность
Множество называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки , если
где — окрестность .
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью в смысле данного выше определения. Проще говоря, проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
См. также
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |