Замкнутое множество

Для термина «Замкнутость» см. также другие значения.

За́мкнутые мно́жества в общей топологии, функциональном анализе и математическом анализе — это дополнения к открытым множествам. Замкнутое множество содержит все свои точки прикосновения.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}})$. Множество $V\subset X$ называется замкнутым относительно топологии ${\mathcal {T}}$, если существует открытое множество $U\in {\mathcal {T}},$ такое что $V=X\setminus U$.

Операция замыкания

Замыканием множества $U$ топологического пространства $X$ называют минимальное по включению замкнутое множество $Z$ содержащее $U$. Замыкание множества $U\subset X$ обычно обозначается ${\bar {U}}$, $\mathop {\rm {Cl}} U$ или $\mathop {\rm {Cl}} _{X}U$ если надо подчеркнуть что ${\bar {U}}$ рассматривается как множество в пространстве $X$.

Замыканием (в курсе Методов Оптимизации) называется множество ${\bar {X}}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\forall \varepsilon >0~X\cap U_{\varepsilon }(x)\neq \oslash \}$, где $U_{\varepsilon }(x)$ - $\epsilon$-окрестность точки x.

Критерий замкнутости

Из определения операции замыкания следует практически очевидный критерий: $U\in \mathrm {Cl} ({\mathcal {T}})\Leftrightarrow \mathrm {cl} \;U=U$.

Примеры

• Пустое множество $\emptyset$ всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
• Отрезок $[a,b]\subset \mathbb {R}$ замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.
• Множество $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ замкнуто в пространстве рациональных чисел $\mathbb {Q}$, но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел $\mathbb {R}$.

См. также

• Открытое множество