Уравнения Эйнштейна

Уравне́ния Эйнште́йна (иногда встречается название «уравнения Эйнштейна-Гильберта») — уравнения гравитационного поля в общей теории относительности, связывающие между собой метрику искривлённого пространства-времени со свойствами заполняющей его материи. Термин используется и в единственном числе: «уравне́ние Эйнште́йна», так как в тензорной записи это одно уравнение, хотя в компонентах представляет собой систему уравнений.

Выглядят уравнения следующим образом:

$R_{ab}-{R \over 2}g_{ab}+\Lambda g_{ab}={8\pi G \over c^{4}}T_{ab}$

где $R_{ab}$ — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени $R_{abcd}$ посредством свёртки его по паре индексов, R — скалярная кривизна, то есть свёрнутый тензор Риччи, $g_{ab}$ — метрический тензор, $\Lambda$ — космологическая постоянная, а $T_{ab}$ представляет собой тензор энергии-импульса материи, ($\pi$ — число пи, c — скорость света в вакууме, G — гравитационная постоянная Ньютона). Так как все входящие в уравнения тензоры симметричны, то в четырёхмерном пространстве-времени эти уравнения равносильны 4·(4+1)/2=10 скалярным уравнениям.

Одним из существенных свойств уравнений Эйнштейна является их нелинейность, приводящая к невозможности использования при их решении принципа суперпозиции.

Исторический очерк

Работа Эйнштейна над теорией гравитации (общей теорией относительности), в одиночку и в соавторстве с рядом людей, длилась с 1907 года по 1917 год. В середине этих усилий Эйнштейн понимает, что роль гравитационного потенциала должен играть псевдо-риманов метрический тензор на четырёхмерном пространстве-времени, а уравнение гравитационного поля должно быть тензорным, включающим тензор римановой кривизны и тензор энергии-импульса в качестве источника поля, сводясь в пределе малых энергий и стационарных полей к уравнению Пуассона ньютоновской теории гравитации. Затем, в 1913 году вместе с Гроссманом получает первый вариант таких уравнений (уравнения Эйнштейна — Гроссмана) совпадающий с правильным только для отсутствия вещества (или для вещества с бесследовым тензором энергии-импульса).

Летом 1915 года Эйнштейн приехал в Гёттингенский университет, где прочитал ведущим математикам того времени, в числе которых был и Гильберт, лекции о важности построения физической теории гравитации и имевшихся к тому времени у него наиболее перспективных подходах к решению проблемы и её трудностях. Между Эйнштейном и Гильбертом завязалась переписка с обсуждением данной темы, которая значительно ускорила завершение работы по выводу окончательных уравнений поля. До недавнего времени считалось, что Гильберт получил эти уравнения на 5 дней раньше, но опубликовал позже: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свою работу, содержащую правильный вариант уравнений, 25 ноября, а заметка Гильберта «Основания физики» была озвучена 20 ноября 1915 года на докладе в Гёттингенском математическом обществе и передана Королевскому научному обществу в Гёттингене, за 5 дней до Эйнштейна (опубликована в 1916 году). Однако в 1997 году была обнаружена корректура статьи Гильберта от 6 декабря, из которой видно, что Гильберт выписал уравнения поля в классическом виде не на 5 дней раньше, а на 4 месяца позже Эйнштейна. В ходе завершающей правки Гильберт также вставил в свою статью ссылки на параллельную декабрьскую работу Эйнштейна.

Сначала уравнения Эйнштейна решались приближённо, в частности, из них были выведены как классическая теория Ньютона, так и поправки к ней. Первые точные решения были получены Шварцшильдом для центрально-симметричного случая. Ряд решений был вскоре выведен в рамках релятивистской космологии.

Решения

Основная статья: Решения уравнений Эйнштейна

См. также

• Математическая формулировка общей теории относительности
• Точные решения уравнений Эйнштейна

Литература

• Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей. М.: Мир, 1979.
• Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование 1900-1915). М.: Наука, 1981.
• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля
• Крамер Д. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Мир, 1982. - 416с.
• Паули В. Теория относительности. М.: Наука, 1991.